2020年入試問題研究に戻る2020滋賀医大第4問
$ k $ を正の整数とし， $ k $ 以下の正の整数全体の集合を $ U $ とする．すなわち， $ U=\{1,\ \cdots,\ k\} $ である． $ U $ の部分集合 $ A $ と $ U $ の要素 $ x $ に対して， $ f_A(x) $ を， $ x\in A $ ならば $ f_A(x)=1 $ ， $ x\not \in A $ ならば $ f_A(x)=0 $ と定める． 例えば $ k=3 $ ， $ A=\{2,\ 3\} $ のとき， $ f_A(1)=0 $ ， $ f_A(2)=1 $ ， $ f_A(3)=1 $ である． また， $ U $ の部分集合 $ A $ に対して， $ A $ の要素の個数を $ n(A) $ で表す．
(1) $ A $ ， $ B $ を $ U $ の部分集合， $ \overline{A} $ を $ U $ に関する $ A $ の補集合とする． \[ f_{\overline{A}}(x)=1-f_A(x),\ \quad f_{A\cap B}(x)=f_A(x)f_B(x) \] を示せ，
(2) $ A $ を $ U $ の部分集合とする． $ n(A) $ を $ f_A(1),\ \cdots,\ f_A(k) $ すべてを用いて表せ．
(3) $ A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4 $ を $ U $ の部分集合， $ A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4 $ の少なくともーつに属する要素全体の集合を $ P $ とする． \[ f_P(x) =1-\left(1-f_{A_1}(x)\right)\left(1-f_{A_2}(x)\right)\left(1-f_{A_3}(x)\right)\left(1-f_{A_4}(x)\right) \] を示せ．
(4) (3)の $ A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4 $ と $ P $ について考える． 整数1，2，3，4から異なる $ p $ 個を選んで $ i_1,\ \cdots,\ i_p $ とし， $ A_{i_1},\ \cdots,\ A_{i_p} $ のどれにも属する要素全体の集合 $ S $ をつくる． $ i_1,\ \cdots,\ i_p $ の選び方 $ {}_4 \mathrm{C}_p $ 通りをすべて考え， それぞれが定める集合 $ S $ を任意に並べて $ S_1^{(p)},\ \cdots,\ S_{{}_4 \mathrm{C}_p}^{(p)} $ とおく． さらに， $ \displaystyle s(p)=\sum_{i=1}^{{}_4 \mathrm{C}_p}n\left(S_i^{(p)} \right) $ とする． このとき， $ n(P)=s(1)-s(2)+s(3)-s(4) $ を示せ．