2020年入試問題研究に戻る2020滋賀医大第4問解答
(1) $ x\in A $ のとき， $ x\not\in \overline{A} $ なので， $ f_{\overline{A}}(x)=0 $ ， $ 1-f_A(x)=1-1=0 $ で成立．
$ x\not \in A $ のとき， $ x\in \overline{A} $ なので， $ f_{\overline{A}}(x)=1 $ ， $ 1-f_A(x)=1-0=1 $ で成立．
$ x\in A\cap B $ のとき， $ x\in A $ かつ $ x\in B $ なので， $ f_{A\cap B}(x)=1 $ ， $ f_A(x)f_B(x)=1\cdot 1=1 $ で成立．
$ x\not \in A\cap B $ のとき， $ f_{A\cap B}(x)=0 $ で， $ x\not\in A $ または $ x\not \in B $ なので $ f_A(x)=0 $ または $ f_B(x)=0 $ となり， 与式は成立する．(2) $ f_A(x) $ の定義より， \[ n(A)=\sum_{j\in A}1+\sum_{j\in \overline{A}}0=f_A(1)+\cdots +f_A(k) \]
(3) $ P=A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4 $ であり， $ \overline{P}=\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap \overline{A_3}\cap \overline{A_4} $ である． よって， \begin{eqnarray*} f_{P}(x)&=&1-f_{\overline{P}}(x)\\ &=&1-f_{\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap \overline{A_3}\cap \overline{A_4}}(x)\\ &=&1-f_{\overline{A_1}}(x)f_{\overline{A_2}}(x)f_{\overline{A_3}}(x)f_{\overline{A_4}}(x)\\ &=&1-\left(1-f_{A_1}(x)\right)\left(1-f_{A_2}(x)\right)\left(1-f_{A_3}(x)\right)\left(1-f_{A_4}(x)\right) \end{eqnarray*} である．
(4) $ P=A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4 $ の要素 $ x $ が， $ A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4 $ のうちの何個の集合に含まれるかで場合分けし， それが個数 $ s(1),\ s(2),\ s(3),\ s(4) $ のなかで何回重なって数えられているかを考える． それぞれのなかでの重複回数を求め， $ s(1)-s(2)+s(3)-s(4) $ の中での回数を求める．
$ x $ が $ A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4 $ のうちの1個に含まれる場合 $ 1-0+0-0=1 $ ．
$ x $ が $ A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4 $ のうちの2個に含まれる場合 $ 2-1+0-0=1 $ ．
$ x $ が $ A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4 $ のうちの3個に含まれる場合 $ 3-{}_3 \mathrm{C}_2+{}_3 \mathrm{C}_3-0=1 $ ．
$ x $ が $ A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4 $ のうちの4個に含まれる場合 $ 4-{}_4 \mathrm{C}_2+{}_4 \mathrm{C}_3-1=1 $ となり，いずれもちょうど1回となる．よって， \[ n(P)=s(1)-s(2)+s(3)-s(4) \] である．
※ (4)は4個の部分集合で考えたが， 一般に $ m $ 個の部分集合のときに同様に考え， \[ n(P)=s(1)-s(2)+s(3)-s(4)+\cdots (-1)^{m-1}s(m) \] がなりたつ．
$ P=A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_m $ の要素 $ x $ が， $ A_1,\ \cdots,\ A_m $ のうちの $ k $ 個の集合に含まれるとする． $ s(j) $ のなかで $ x $ が重複して数えられる回数を求め，それをもとに $ s(1)-s(2)+\cdots (-1)^{m-1}s(m) $ の中での回数を求める． \begin{eqnarray*} &&{}_k \mathrm{C}_1-{}_k \mathrm{C}_2+{}_k \mathrm{C}_3-\cdots(-1)^{k-1}{}_k \mathrm{C}_k\\ &=& 1-\left\{1-{}_k \mathrm{C}_1+{}_k \mathrm{C}_2-\cdots(-1)^k{}_k \mathrm{C}_k \right\}\\ &=& 1-(1-1)^k=1 \end{eqnarray*} である．そして， $ k< j\leqq m $ に対して $ s(j)=0 $ なので， $ s(1)-s(2)+\cdots (-1)^{m-1}s(m) $ の中で数えられる $ x $ の合計はつねに1となる．よって， すべての $ x $ について加えた次式の左辺は，集合 $ P $ の要素の個数となる． つまり， \[ n(P)=s(1)-s(2)+s(3)-s(4)+\cdots (-1)^{m-1}s(m) \] がなりたつ．