2020年入試問題研究に戻る東大理科第1問解答
(1) $ a<0 $ と仮定する． $ ax^2+bx+c $ の判別式を$D$とする．
$ D< 0 $ のときはすべての $ x $ で $ ax^2+bx+c< 0 $ となる．
$ D\geqq 0 $ のとき． $ ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\ (\alpha\leqq \beta) $ とすると， $ x< \alpha $において $ ax^2+bx+c< 0 $ となる．
よって条件を満たさない．他も同様．よって $ a,\ b,\ c $ はすべて0以上である．
(2) $ a>0 $ のとき， $ ax^2+bx+c>0 $ となる $ x $ の集合にはある値より小さいすべての $ x $ が含まれる． よって， $ a,\ b,\ c $ がすべて正なら，ある値より小さいすべての $ x $ で3不等式が成立し， 条件を満たす $ x $ の集合が $ x>p $ を満たす実数 $ x $ の集合と一致することはない．よって， $ a,\ b,\ c $ のうち少なくとも1個は0である．
(3) $ a,\ b,\ c $ についての対称性から， $ a=0 $ とする．このとき，条件は \[ \begin{array}{l} bx+c>0\\ x(bx+c)>0\\ cx^2+b>0 \end{array} \] となり，必要十分条件は $ x >0 $ である． よって $ p=0 $ でなければならない．