2020年入試問題研究に戻る東北大理系6番
正の整数$m,\ n$に対して実数$A(m,\ n)$を次の定積分で定める｡ \[ A(m,\ n)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^mx\sin^n x\,dx \]
(1) 次の等式が成り立つことを示せ。 \[ A(m,\ n)=A(n,\ m)，\quad A(m+2,\ n)+A(m,\ n+2)=A(m,\ n) \]
(2) $A(m,\ 1)$を求めよ。
(3) 次の等式が成り立つことを示せ。 \[ A(m,\ n+2)=\dfrac{n+1}{m+1}A(m+2,\ n) \]
(4) $m$または$n$が奇数ならば，$A(m,\ n)$は有理数であることを示せ。