2020年入試問題研究に戻る東北大理系6番解答
(1) $x=\dfrac{\pi}{2}-t$で置換する． \begin{eqnarray*} &&A(m,\ n)\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^mx\sin^n x\,dx\\ &=&\int_{\frac{\pi}{2}}^0\cos^m\left(\dfrac{\pi}{2}-t \right)\sin^n\left(\dfrac{\pi}{2}-t \right)\,(-dt)\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^m t\cos^n t\,dt=A(n,\ m)\\ &&A(m+2,\ n)+A(m,\ n+2)\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{m+2}x\sin^n x\,dx+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^mx\sin^{n+2} x\,dx\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos^2x+\sin^2x \right)\cos^mx\sin^n x\,dx=A(m,\ n) \end{eqnarray*} である．
(2) \begin{eqnarray*} A(m,\ 1)&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^mx\sin x\,dx\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^mx(-\cos x)'\,dx\\ &=&\biggl[-\cos^{m+1}x\biggr]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}m\cos^{m-1}x(-\sin x)\cos x\,dx\\ &=&1-A(m,\ 1) \end{eqnarray*} よって， \[ A(m,\ 1)=\dfrac{1}{2} \]
(3) \begin{eqnarray*} A(m,\ n+2) &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^mx\sin^{n+2} x\,dx\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^mx(-\cos x)'\sin^{n+1} x\,dx\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}-\left(\dfrac{1}{m+1}\cos^{m+1}x\right)'\sin^{n+1} x\,dx\\ &=&-\dfrac{1}{m+1}\biggl[\cos^{m+1}x\sin^{n+1} x\biggr]_0^{\frac{\pi}{2}} +\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{m+1}\cos^{m+1}x \cdot (n+1)\sin^n x\cos x \,dx\\ &=&\dfrac{n+1}{m+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{m+2}x \sin^nx\,dx=\dfrac{n+1}{m+1}A(m+2,\ n) \end{eqnarray*} である．
(4) $A(m,\ n)=A(n,\ m)$なので，$n$を奇数とし，命題 \[ 任意の自然数mに対して，A(m,\ 2k-1)は有理数である \] を，$k$に関する数学的帰納法で示す．
$k=1$のときは(2)より成立する．
(3)より， \[ A(m,\ 2(k+1)-1) =\dfrac{2k}{m+1}A(m+2,\ 2k-1) \] なので，$k$のとき成立すれば，$k+1$のときも成立する． よって上記命題が成立することが示された．