2020年入試問題研究に戻る鳥取大
微分可能な $ x $ の関数 $ f(x) $ が任意の実数 $ x $ ， $ y $ に対して次の関係を満たすとき， 以下の問に答よ． \[ \begin{array}{l} f(-x)=-f(x)\\ f'(x+y)=f'(x)f'(y)-f(x)f(y)\\ f'(0)=1 \end{array} \]
(1) $ f(0) $ を求めよ．
(2) $ f'(x) $ は偶関数であることを証明せよ．
(3) $ f'(u)-f'(v)=-2f\left(\dfrac{u+v}{2} \right)f\left(\dfrac{u-v}{2} \right) $ を証明せよ．
(4) $ f'(x) $ が微分可能であることを示し， $ f''(x)=-f(x) $ を証明せよ．