2021年入試問題研究に戻る奈良医大3番
以下の問に答えよ． 整数を係数とする文字 $ x $ に関する5次以下の整式全体からなる集合を $ A $ とする．つまり， $ A $ は \[ \{a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\ |\ a_0,\ \cdots,\ a_5は整数 \} \] という集合である．整数 $ k $ と $ A $ の要素 $ F(x) $ に対し， $ T_k(F(x)) $ を \[ T_k(F(x))=xF''(x)-kF'(x) \] と定める．ここで， $ F'(x) $ は $ F(x) $ を $ x $ の関数とみた場合の導関数， $ F''(x) $ は $ F'(x) $ の導関数を表す．
(1) $ F(x)=x^5-2x^4+3x^3-4x^2+5x-6 $ に対し， $ T_4(F(x)) $ を求めよ．
(2) $ A $ の要素のうち $ T_2(F(x))=0 $ を満たす整式 $ F(x) $ 全体からなる集合を求めよ．
(3) $ A $ の部分集合 $ B $ をとり， $ B $ のすべての要素 $ F(x) $ に対して $ T_3(F(x)) $ を集めると \[ \{12bx+12c\ |\ b,cは整数 \} \] という集合になる．そのような $ B $ をひとつ求めよ．