2021年入試問題研究に戻る奈良医大3番解答
(1) $ F(x)=x^5-2x^4+3x^3-4x^2+5x-6 $ のとき， \begin{eqnarray*} F'(x)&=&5x^4-8x^3+9x^2-8x+5\\ F''(x)&=&20x^3-24x^2+18x-8\\ T_4(F(x))&=&xF''(x)-4F'(x)\\ &=&20x^4-24x^3+18x^2-8x-4\left(5x^4-8x^3+9x^2-8x+5 \right)\\ &=&8x^3-18x^2+24x-20 \end{eqnarray*}
(2) $ F(x)=a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 $ のとき， \begin{eqnarray*} F'(x)&=&5a_5x^4+4a_4x^3+3a_3x^2+2a_2x+a_1\\ F''(x)&=&20a_5x^3+12a_4x^2+6a_3x+2a_2\\ T_2(F(x))&=&xF''(x)-2F'(x)\\ &=&20a_5x^4+12a_4x^3+6a_3x^2+2a_2x-2\left(5a_5x^4+4a_4x^3+3a_3x^2+2a_2x+a_1\right)\\ &=&10a_5x^4+4a_4x^3-2a_2x-2a_1 \end{eqnarray*} これが恒等式として0なので， \[ a_5=a_4=a_2=a_1=0 \] よって， $ T_2(F(x))=0 $ を満たす整式 $ F(x) $ 全体からなる集合は \[ \{ a_3x^3+a_0 \} \]
(3) $ F(x)=a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 $ のとき， \begin{eqnarray*} T_3(F(x))&=&xF''(x)-3F'(x)\\ &=&20a_5x^4+12a_4x^3+6a_3x^2+2a_2x-3\left(5a_5x^4+4a_4x^3+3a_3x^2+2a_2x+a_1\right)\\ &=&15a_5x^4-3a_3x^2-4a_2x-3a_1\\ &=&12bx+12c \end{eqnarray*} のとき， \[ a_5=a_3=0,\ 12b=-4a_2,\ 12c=-3a_1 \] Bとして， \[ \{ a_4x^4+3a_2x^2+4a_1x+a_0 |\ a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_4\ は整数 \} \] がとれる。