2021年入試問題研究に戻る奈良医大5番解答
(1) 係数範囲が指定されていないので，実数範囲で因数分解する． \begin{eqnarray*} x^{16}-1&=&(x^8-1)(x^8+1) =(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)\\ &=&(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)\\ &=&(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1) \end{eqnarray*}
(2) 一般に因数分解 \[ X^n-1=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots+1) \] が成り立つ．
$ m\geqq n+1 $ なので， \[ a^{2^m}-1=\left(a^{2^{n+1}} \right)^{2^{m-n-1}}-1 \] より， $ a^{2^m}-1 $は \[ a^{2^{n+1}}-1=(a^{2^n}-1)(a^{2^n}+1) \] を因数にもつ． つまり， $ a^{2^n}+1 $ で割り切れる．(3) (2)より，ある奇数 $ A $ を用いて， \[ a^{2^m}-1=A(a^{2^n}+1) \] と表せる．よって， \[ a^{2^m}+1=A(a^{2^n}+1)+2 \] である．これより， $ a^{2^m}+1 $ と $ a^{2^n}+1 $ の最大公約数 $ d $ は 2の約数であることが必要である．
これから， $ a $ が偶数ならば $ d=1 $ ，奇数ならば $ d=2 $ である．