2021年入試問題研究に戻る千葉大9番
多項式 $ f_n(x) $ ， $ g_n(x) $ $ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) $ を条件 \[ \begin{array}{l} f_1(x)=x,\quad g_1(x)=1,\ \\ f_{n+1}(x)=f_n(x)+xg_n(x),\quad g_{n+1}(x)=g_n(x)-xf_n(x) \end{array} \] で定める。
(1) 正の整数 $ n $ に対して，等式 \[ \{f_{n+1}(x)\}'=(n+1)g_n(x),\quad \{g_{n+1}(x)\}'=-(n+1)f_n(x) \] が成り立つことを示し，多項式 $ f_n(x) $ の次数を求めよ．
(2) 正の整数 $ n $ に対して，区間 $ -\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2} $ において等式 \[ \sin n\theta=f_n(\tan\theta)\cos^n\theta,\quad \cos n\theta=g_n(\tan\theta)\cos^n\theta \] が成り立つことを示せ．
(3) 正の整数 $ n $ と実数 $ a $ に対して，方程式 $ f_n(x)=ag_n(x) $ の異なる実数解の個数を求めよ．