2021年入試問題研究に戻る千葉大9番解答
(1) 与等式が成立することを， $ n $ についての数学的帰納法で示す． \[ f_2(x)=x+x=2x,\quad g_2(x)=1-x \cdot x=1-x^2 \] であるから， $ n=1 $ のとき， \[ \{f_2(x)\}'=2=(1+1)g_1(x),\quad \{g_2(x)\}'=-2x=-(1+1)f_1(x) \] より成立する． $ n\geqq 2 $ とし， $ n-1 $ のとき成立するとする． $ n $ のとき， \begin{eqnarray*} \{f_{n+1}(x)\}'&=&\{f_n(x)\}'+g_n(x)+x\{g_n(x)\}'\\ &=&ng_{n-1}(x)+g_n(x)+x\left(-nf_{n-1}(x)\right)\\ &=&n\left(g_{n-1}(x)-xf_{n-1}(x) \right)+g_n(x)=(n+1)g_n(x)\\ \{g_{n+1}(x)\}'&=&\{g_n(x)\}'-f_n(x)-x\{f_n(x)\}'\\ &=&-nf_{n-1}(x)-f_n(x)-x\left(ng_{n-1}(x) \right)\\ &=&-n\left(f_{n-1}(x)+xg_{n-1}(x) \right)-f_n(x)=-(n+1)f_n(x) \end{eqnarray*} より成立し，すべての自然数 $ n $ で等式が成立する．
次に， $ f_n(x) $ と $ g_n(x) $ の次数を $ a_n $ ， $ b_n $ とおく． \[ a_1=1,\ \quad b_1=0 \] であり，整式の微分で次数は1下がるので， \[ a_{n+1}-1=b_n,\ \quad b_{n+1}-1=a_n \] が成り立つ．これから， \[ a_{n+2}=b_{n+1}+1=a_n+2,\ b_{n+2}=a_{n+1}+1=b_n+2 \] が成り立つ．そして， $ a_1=1,\ a_2=1 $ なので， \[ a_n= \left\{ \begin{array}{ll} n&(n:奇数)\\ n-1&(n:偶数) \end{array} \right. \] である．(2) 等式の成立を， $ n $ についての数学的帰納法で示す．
$ n=1 $ のとき． \begin{eqnarray*} \sin 1\theta&=&f_1(\tan\theta)\cos\theta=\tan\theta\cos\theta\\ \cos 1\theta&=&g_1(\tan\theta)\cos\theta=\cos\theta \end{eqnarray*} より成立． $ n $ のときの成立を仮定する． \begin{eqnarray*} \sin (n+1)\theta&=& \sin n\theta\cos \theta+\cos n\theta\sin \theta\\ &=&f_n(\tan\theta)\cos^n\theta\cos\theta+g_n(\tan\theta)\cos^n\theta\sin\theta\\ &=&f_n(\tan\theta)\cos^{n+1}\theta+\tan\theta g_n(\tan\theta)\cos^{n+1}\theta =f_{n+1}(\tan\theta)\cos^{n+1}\theta\\ \cos (n+1)\theta&=& \cos n\theta\cos \theta-\sin n\theta\sin \theta\\ &=&g_n(\tan\theta)\cos^n\theta\cos\theta-\sin\theta f_n(\tan\theta)\cos^n\theta\\ &=&g_n(\tan\theta)\cos^{n+1}\theta-\tan\theta f_n(\tan\theta)\cos^{n+1}\theta =g_{n+1}(\tan\theta)\cos^{n+1}\theta \end{eqnarray*} $ n+1 $ のときも成立し，すべての自然数 $ n $ で等式が成立する．(3) 関数 $ \tan\theta $ は区間 $ -\dfrac{\pi}{2}< \theta< \dfrac{\pi}{2} $ において，単調増加ですべての実数値をとる． よって，方程式 $ f_n(x)=ag_n(x) $ の異なる実数解の個数と， $ \theta $ の方程式 $ f_n(\tan\theta)=ag_n(\tan\theta) $ の， 区間 $ -\dfrac{\pi}{2}< \theta<\dfrac{\pi}{2} $ における異なる実数解 $ \theta $ の個数は等しい．
この区間で $ \cos\theta\ne 0 $ なので，(2)より， $ f_n(\tan\theta)=ag_n(\tan\theta) $ は $ \dfrac{\sin n\theta}{\cos^n\theta}=a\dfrac{\cos n\theta}{\cos^n\theta} $ と同値である．さらにこの等式は $ \tan n\theta=a $ と同値である．
$ \tan \alpha=a $ となる $ -\dfrac{\pi}{2} < \alpha<\dfrac{\pi}{2} $ をとる．
$ \tan\theta $ の周期は $ \pi $ なので， $ n\theta= \alpha+k\pi $ とおく． $ -\dfrac{\pi}{2}< \theta< \dfrac{\pi}{2} $ より， $ \displaystyle -\dfrac{n\pi}{2}-\alpha < n\theta-\alpha<\dfrac{n\pi}{2}-\alpha $ ， なので， \[ -\dfrac{n}{2}-\dfrac{\alpha}{\pi}< k < \dfrac{n}{2}-\dfrac{\alpha}{\pi} \] である．これを満たす $ k $ の個数が，条件を満たす解の個数である．
$ -\dfrac{1}{2}<\dfrac{\alpha}{\pi}<\dfrac{1}{2} $ であるから，以上から，実数解の個数は \[ \left\{ \begin{array}{ll} n-1&(nが偶数かつa=0)\\ n&(上記以外のとき) \end{array} \right. \] である．(i) $ n $ が奇数のとき
$ -\dfrac{n}{2}-\dfrac{\alpha}{\pi}<-\dfrac{n-1}{2} $ ， $ \dfrac{n-1}{2}< \dfrac{n}{2}-\dfrac{\alpha}{\pi} $ なので， \[ -\dfrac{n-1}{2}\leqq k \leqq \dfrac{n-1}{2}\ の\ n\ 個 \](ii) $ n $ が偶数のとき
・ $ a>0 $ ，つまり $ 0< \dfrac{\alpha}{\pi}< \dfrac{1}{2} $ のとき \[ -\dfrac{n}{2}\leqq k \leqq \dfrac{n}{2}-1\ の\ n\ 個 \] ・ $ a=0 $ ，つまり $ 0=\dfrac{\alpha}{\pi} $ のとき \[ -\dfrac{n}{2}+1\leqq k \leqq \dfrac{n}{2}-1\ の\ n-1\ 個 \] ・ $ a<0 $ ，つまり $ -\dfrac{1}{2}< \dfrac{\alpha}{\pi}< 0 $ のとき \[ -\dfrac{n}{2}+1\leqq k \leqq \dfrac{n}{2}\ の\ n\ 個 \]