2021年入試問題研究に戻る同大3番
$ n $ を自然数とし，次の条件を満たす数列 $ \{a_n\} $ と $ \{b_n\} $ を考える． \[ \begin{array}{ll} a_1=1,\ &(n+3)a_{n+1}-(n+1)a_n=2(n+1)\quad (n=1，2,\ 3,\ \cdots)\\ b_1=1,\ &\displaystyle \sum_{k=1}^nkb_k=a_n\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)\quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \end{array} \] 次の問いに答えよ．
(1) $ a_2,\ b_2 $ を求めよ．
(2) $ c_n=(n+2)(n+1)a_n\quad (n=1，2,\ 3,\ \cdots) $ とおく． $ c_{n+1}-c_n $ を $ n $ で表せ．
(3) $ n\geqq 1 $ とする．このとき， $ a_n $ を $ n $ で表せ．
(4) $ n\geqq 2 $ とする．このとき， $ \displaystyle s_{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}b_k $ とし， $ b_n=d_ns_{n-1} $ を満たす $ d_n $ を考える．このとき， $ d_n $ を $ n $ で表せ． ただし，必要ならば，次の等式が成り立つことを証明なしで用いてよい． \[ a_n\left(\sum_{k=1}^nb_k \right)-a_{n-1}\left(\sum_{k=1}^{n-1}b_k \right) =a_nb_n+(a_n-a_{n-1})s_{n-1} \] (5) $ n\geqq 2 $ とする．このとき， $ b_n $ を $ n $ で表せ．