2021年入試問題研究に戻る理系4番解答
(1) 条件より \[ \left[\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{b}{2}x^2\right]_a^c- \left[\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{a}{2}x^2\right]_b^c=0 \] これより， \[ \left\{\dfrac{c^2}{2}+\dfrac{ab}{2} \right\}(b-a)+\dfrac{1}{3}(b^3-a^3)=0 \] を得る． $ a\ne b $ のとき， \[ 3c^2+3ab+2(b^2+ba+a^2)=0 \quad \cdots① \] となる．これから \[ 2(b^2-2ba+a^2)+9ab+3c^2=0 \] となり， $ b^2-2ba+a^2=(b-a)^2 $ が3の倍数である．よって， $ b\equiv a\ (\bmod \ 3) $ となる． この結果 \[ 3c^2\equiv -3a^2-2(a^2+a^2+a^2)=-9a^2\ (\bmod \ 3) \] $ 3c^2 $ が9の倍数なので， $ c^2 $ は3の倍数，つまり $ c $ は3の倍数である．
(2) $ ① $ から \[ 3c^2=-(2a+b)(a+2b) \] である． $ c=3600 $ のとき， $ 3c^2=2^83^55^4 $ である．
$ 2a+b+(a+2b) $ は3の倍数なので， $ 2a+b,\ a+2b $ の一方が3の倍数なら他方も3の倍数である． $ 2a+b=3m $ ， $ a+2b=3n $ とおくと， $ a=2m-n $ ， $ b=-m+2n $ より $ a,\ b $ は整数である．
$ 2^83^55^4 $ を，いずれもが3の倍数となるように $ 2a+b $ と $ a+2b $ に振り分ける． 3の分け方は $ (3,3^4)～(3^4,3) $ の4通り， 2の分け方は $ (1,2^8)～(2^8,1) $ の9通り， 5の分け方は $ (1,5^4)～(5^4,1) $ の5通りなので， $ 2^83^55^4=(2a+b)(a+2b) $ となる $ 2a+b $ と $ a+2b $ は180個ある．
$ a=2m-n $ ， $ b=-m+2n $ のとき， $ a< b $ となるのは， $ 2m-n<-m+2n $ より $ m< n $ のときである． したがって $ m $ を負にとるときである． これより， $ 2^83^55^4=-(2a+b)(a+2b) $ となる $ 2a+b $ と $ a+2b $ も180個ある． よって，条件を満たす $ (a,\ b) $ の個数は180である．