2021年入試問題研究に戻る阪大理系5番
次の問いに答えよ．
(1) $ a $ を実数とする． $ x $ についての方程式 $ x-\tan x=a $ の実数解のうち， $ |x|< \dfrac{\pi}{2} $ をみたすものがちょうど1個あることを示せ．
(2) 自然数 $ n $ に対し， $ x-\tan x=n \pi $ かつ $ |x|< \dfrac{\pi}{2} $ をみたす実数 $ x $ を $ x_n $ とおく． $ t $ を $ |t|< \dfrac{\pi}{2} $ をみたす実数とする． このとき，曲線 $ C:y=\sin x $ 上の点 $ \mathrm{P}(t,\sin t) $ における接線が， $ x\geqq \dfrac{\pi}{2} $ の表す領域に含まれる点においても曲線 $ C $ と接するための必要十分条件は， $ t $ が $ x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots $ のいずれかと等しいことであることを示せ．