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阪大理系5番解答

(1)　 $ f(x)=x-\tan x $ とおく． \[ f'(x)=1-\dfrac{1}{\cos^2 x}=\dfrac{(\cos x-1)(\cos x+1)}{\cos^2 x} \] であり， $ |x|< \dfrac{\pi}{2} $ において， $ 0<\cos x \leqq 1 $ なので， この区間で $ f'(x)\leqq 0 $ であり， $ f(x) $ は単調減少な関数である． そして， \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0}f(x)=-\infty,\ \quad \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}+0}f(x)=\infty \] であるから，実数 $ a $ に対して $ f(x)=a $ となる $ x $ がただ1つ存在する．

(2)　 $ (\sin x)'=\cos x $ なので， 曲線 $ C:y=\sin x $ 上の点 $ \mathrm{P}(t,\sin t) $ における接線と， 点 $ \mathrm{Q}(u,\sin u) $ における接線の方程式は，それぞれ， \[ \begin{array}{l} y=\cos t(x-t)+\sin t=(\cos t)x-t\cos t +\sin t\\ y=\cos u(x-u)+\sin u=(\cos u)x-u\cos u +\sin u \end{array} \] である．
次の2つの命題が同値であることを示す．

(i)　2つの接線が一致するような， $ -\dfrac{\pi}{2}< t <\dfrac{\pi}{2}\leqq u $ 範囲の $ t $ と $ u $ が存在する．

(ii)　 $ t $ が $ x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots $ のいずれかと一致する．

(i)が成り立つとする． つまり， \[ \cos t=\cos u,\ \quad -t\cos t +\sin t=-u\cos u +\sin u \] となる $ -\dfrac{\pi}{2}< t < \dfrac{\pi}{2}\leqq u $ が存在するとする． $ \cos t=\cos u $ より， $ u=t+2l\pi $ または $ u=-t+2m\pi $ となる自然数 $ l $ ， $ m $ がとれる．
$ u=t+2l\pi $ とする．このとき， \[ -t\cos t +\sin t=-(t+2l\pi)\cos t +\sin (t+2l\pi)=-(t+2l\pi)\cos t +\sin t \] より， $ 2l\pi\cos t=0 $ となるが， $ l>0 $ で $ -\dfrac{\pi}{2} $ u=-t+2m\pi $ とする．このとき， \[ -t\cos t +\sin t=-(-t+2m\pi)\cos t +\sin (-t+2m\pi)=-(-t+2m\pi)\cos t -\sin t \] より， \[ 2t\cos t-2m\pi\cos t -2\sin t=0 \] となり， $ \cos t>0 $ なので，これから \[ t-\tan t=m\pi \] となる．つまり， $ t $ は $ -\dfrac{\pi}{2}< t <\dfrac{\pi}{2} $ にある $ f(t)=m\pi $ の解である． よって $ t=x_m $ である．(ii)の成立が示された．
(ii)が成立するとする． このとき $ t=x_m $ とする．
そして，この自然数 $ m $ を用いて $ u $ を $ u=-t+2m\pi $ ととる． このとき， \[ u>-\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{3\pi}{2}>\dfrac{\pi}{2} \] である．そして， \begin{eqnarray*} \cos u&=&\cos \left(-t+2m\pi \right)=\cos t\\ -u\cos u +\sin u&=&(t-2m\pi)\cos t+\sin (-t+2m\pi)\\ &=&t\cos t-\sin t -2m\pi \cos t \end{eqnarray*} ここで， $ t-\tan t=m\pi $ より $ t\cos t-\sin t=m\pi \cos t $ なので， \[ t\cos t-\sin t -2m\pi \cos t=-t\cos t+\sin t \] となる．つまり，(i)が成立した． したがって(i)と(ii)の同値性が示された．

問題