2021年入試問題研究に戻る京大特色3番解答
$ x_2 $ は次のいずれかである． \begin{eqnarray*} \dfrac{x_1+99}{100}&=&\dfrac{\frac{1}{2}+99}{100}=\dfrac{199}{200}=1-\dfrac{1}{200}\\ -\dfrac{100x_1}{99x_1-1}&=&-\dfrac{\frac{100}{2}}{\frac{99}{2}-1}=-\dfrac{100}{97}=-1-\dfrac{3}{97} \end{eqnarray*} したがって， $ x_2 $ は \[ |x_2-1|< \dfrac{1}{10},\ または\ |x_2+1|< \dfrac{1}{10} \] を満たす． $ k\geqq 2 $ のとき， $ x_{k} $ が \[ |x_{k}-1|< \dfrac{1}{10},\ または\ |x_{k}+1|< \dfrac{1}{10} \] を満たすとする．このとき $ x_{k+1} $ は \[ |x_{k+1}-1|< \dfrac{1}{10},\ または\ |x_{k+1}+1|< \dfrac{1}{10} \] を満たすことを示す．
i) $ |x_{k}-1|< \dfrac{1}{10} $ のとき \[ \left|\dfrac{x_k+99}{100}-1 \right|=\dfrac{|x_k-1|}{100} < \dfrac{1}{1000}< \dfrac{1}{10} \] であり， $ 1-\dfrac{1}{10}< x_k $ なので， \begin{eqnarray*} \left|-\dfrac{100x_{k}}{99x_{k}-1}+1 \right|&=& \dfrac{|-x_k-1|}{|99x_{k}-1|}=\dfrac{|x_k-1+2|}{|99x_{k}-1|}\\ &< &\dfrac{|x_k-1|+2}{\left|99\left(1-\dfrac{1}{10} \right)-1\right|} < \dfrac{\dfrac{1}{10}+2}{99\cdot\dfrac{9}{10}-1}=\dfrac{21}{881}< \dfrac{1}{10} \end{eqnarray*}
ii) $ |x_{k}+1|< \dfrac{1}{10} $ のとき \[ \left|\dfrac{x_k+99}{100}-1 \right|=\dfrac{|x_k+1-2|}{100} < \dfrac{\dfrac{1}{10}+2}{100}=\dfrac{21}{1000}< \dfrac{1}{10} \] であり， $ -1-\dfrac{1}{10}< x_k $ で， $ |99x_k|-1\leqq |99x_k-1| $ なので， \begin{eqnarray*} \left|-\dfrac{100x_{k}}{99x_{k}-1}+1 \right|&=& \dfrac{|-x_k-1|}{|99x_{k}-1|}< \dfrac{|x_k+1-2|}{|99x_{k}|-1}\\ &< &\dfrac{|x_k-1|+2}{99\left(1+\dfrac{1}{10} \right)-1} < \dfrac{\dfrac{1}{10}+2}{99\cdot\dfrac{11}{10}-1}=\dfrac{21}{1079}< \dfrac{1}{10} \end{eqnarray*} である．
数学的帰納法によって， $ |x_{1000}-1| $ または $ |x_{1000}+1| $ が $ \dfrac{1}{10} $ より小さくなり， $ \displaystyle \dfrac{49}{100}< x_{1000}< \dfrac{51}{100} $ となることはない． よって題意をみたす実数列は存在しない．