2021年入試問題研究に戻る京府医4番A解答
(1) 複素数 $ z $ が条件(C)を満たすので， これに $ z $ を乗じて $ z^3+mz^2+nz=0 $ を満たす． ここに $ z^2=-mz-n $ を代入して， \[ z^3+m(-mz-n)+nz=z^3-(m^2-n)z-mn=0 \quad …① \] つまり， $ p=-(m^2-n) $ ， $ q=-mn $ とすれば， $ z^3+pz+q=0 $ となり， 条件(D)が成立した．
(2) $ z=\sqrt[3]{2} $ とおく． $ z^3-2=0 $ なので， $ p=0 $ ， $ q=-2 $ で条件(D)を満たす．
さらに条件(C)も満たすとする．
(1)の $ ① $ に $ z^3=2 $ を代入して， $ 2-(m^2-n)z-mn=0 $ ，つまり， \[ (m^2-n)z=2-mn \] を得る． $ m^2-n=0 $ なら $ 2-mn=2-m^3=0 $ となるが、このとき， $ m=\sqrt[3]{2} $ となり， $ m $ が整数であることに反する．よって $ m^2-n\ne 0 $ とあり $ z=\dfrac{2-mn}{m^2-n} $ となる． 右辺は有理数なので， $ z $ が無理数であることと矛盾する．
したがって条件(C)は満たさない．(3) $ |z|=1 $ であるので， \[ |z|^2=z \bar{z}=1 \] で， $ z\ne 0 $ 。 $ 条件(D) $ より \[ z^2+p+\dfrac{q}{z}=z^2+p+q\bar{z}=0 \] 共役をとって \[ \bar{z}^2+p+qz=0 \] である。辺々引いて \[ z^2-\bar{z}^2+q(\bar{z}-z)= (z-\bar{z})(z+\bar{z}-q)=0 \] である。
i) $ z=\bar{z} $ のとき。
$ z $ は実数で $ |z|=1 $ より $ z=\pm 1 $ 。このとき， \[ (\pm1 )^3+p(\pm 1)+q=0 \] となる $ p $ と $ q $ は存在する。ii) $ z+\bar{z}-q=0 $ のとき。
$ z=\cos\theta+i\sin\theta $ とおくと，これから $ 2\cos\theta=q $ である。 $ |\cos\theta|\leqq 1 $ で $ q $ が整数なので， $ q=0,\ \pm 1,\ \pm 2 $ で ぞれぞれ $ \cos\theta=0,\ \pm \dfrac{1}{2},\ \pm 1 $ である。そしてこのとき， $ \sin\theta=\pm 1,\ \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 0 $ で， $ p $ は \[ z^2+\bar{z}^2+2p+q(\bar{z}+z)= (z+\bar{z})^2-2z\bar{z}+2p+q(\bar{z}+z)=0 \] より， $ p=1-q^2 $ で定まる。これらの $ \theta $ で定まる $ z $ は条件 (D) を満たす。
i)，ii)あわせて， $ |z|=1 $ で条件(D)を満たすものは \[ \pm 1,\ \pm i,\ \dfrac{\pm 1\pm \sqrt{3}i}{2} \] である。