2021年入試問題研究に戻る滋賀医大2番
$ a,\ b $ ， $ p,\ q $ を $ p< 0< q< a< b $ を満たす実数とする。座標平面上で曲線 \[ C:y=\dfrac{1}{(x-a)(x-b)} \] を考える。 曲線 $ C $ ， $ x $ 軸， $ y $ 軸および直線 $ x=p $ で囲まれた部分の面積 $ S(p) $ は， 曲線 $ C $ ， $ x $ 軸， $ y $ 軸および直線 $ x=q $ で囲まれた部分の面積 $ S(q) $ と等しいとする。 $ S=S(p)=S(q) $ とおく。次を示せ。
(1) $ (p+q)ab=pq(a+b) $
(2) $ \displaystyle q<\dfrac{ab}{a+b} $
(3) $ \displaystyle S<\dfrac{1}{b-a}\log\dfrac{b}{a} $
(4) $ \displaystyle S<\dfrac{1}{a} $