2021年入試問題研究に戻る滋賀医大2番解答
(1) \[ \dfrac{1}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{x-b}-\dfrac{1}{x-a} \right) \] であるから， $ C $ を積分定数として \begin{eqnarray*} \int\dfrac{1}{(x-a)(x-b)}\,dx&=&\dfrac{1}{b-a}\int\left(\dfrac{1}{x-b}-\dfrac{1}{x-a} \right)\,dx\\ &=&\dfrac{1}{b-a}\log\dfrac{|x-b|}{|x-a|}+C \end{eqnarray*} である。よって， \begin{eqnarray*} S(p)&=&\dfrac{1}{b-a}\left[\log\dfrac{|x-b|}{|x-a|}\right]_p^0 =\dfrac{1}{b-a}\left(\log\dfrac{b}{a}-\log\dfrac{b-p}{a-p}\right)\\ S(q)&=&\dfrac{1}{b-a}\left[\log\dfrac{|x-b|}{|x-a|}\right]_0^q =\dfrac{1}{b-a}\left(\log\dfrac{b-q}{a-q}-\log\dfrac{b}{a}\right) \end{eqnarray*} である。 $ S(p)=S(q) $ なので \[ \log\dfrac{b}{a}-\log\dfrac{b-p}{a-p}=\log\dfrac{b-q}{a-q}-\log\dfrac{b}{a} \] である。これから \[ \log\left(\dfrac{b}{a} \right)^2=\log\dfrac{(b-p)(b-q)}{(a-p)(a-q)} \] つまり， \[ \dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{(b-p)(b-q)}{(a-p)(a-q)} \] これを整理して \[ (b-a)(p+q)ab=pq(b^2-a^2)=pq(b-a)(b+a) \] $ b-a >0 $ なので， \[ (p+q)ab=pq(a+b) \] を得る。
(2) (1)から \[ \dfrac{pq}{p+q}=\dfrac{ab}{a+b} >0 \] $ q >0 $ であるから， $ \dfrac{p}{p+q} >0 $ である。 $ p< 0 $ より $ p+q< 0 $ である。 $ p< p+q $ とあわせて \[ \dfrac{p}{p+q} >1 \] となり，これから \[ \dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{pq}{p+q} >q \] である。
(3) \[ b-p >a-p \] より， $ \dfrac{b-p}{a-p} >1 $ である。よって $ \log \dfrac{b-p}{a-p} >0 $ となるので， \[ S=\dfrac{1}{b-a}\left(\log\dfrac{b}{a}-\log\dfrac{b-p}{a-p}\right) < \dfrac{1}{b-a}\log\dfrac{b}{a} \] となる。
(4) 関数 $ y=\log x $ の区間 $ a\leqq x\leqq b $ における平均値の定理から， $ a< c < b $ で \[ \dfrac{\log b-\log a}{b-a}=\dfrac{1}{b-a}\log\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{c} \] となるものがある。よって，(3)とあわせて \[ S< \dfrac{1}{c}< \dfrac{1}{a} \] となる。