2021年入試問題研究に戻る文科理科4番
以下の問いに答えよ．
(1) 正の奇数 $ K,\ L $ と正の整数 $ A,\ B $ が $ KA=LB $ を満たしているとする． $ K $ を4で割った余りが $ L $ を4で割った余りと等しいならば， $ A $ を4で割った余りは $ B $ を4で割った余りと等しいことを示せ．
(2) 正の整数 $ a,\ b $ が $ a>b $ を満たしているとする このとき， $ A={}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1} $ ， $ B={}_a \mathrm{C}_b $ に対して $ KA=LB $ となるような正の奇数 $ K,\ L $ が存在することを示せ．
(3) $ a,\ b $ は(2)の通りとし，さらに $ a-b $ が2で割り切れるとする． $ {}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1} $ を4で割った余りは $ {}_a \mathrm{C}_b $ を4で割った余りと等しいことを示せ．
(4) $ {}_{2021} \mathrm{C}_{37} $ を4で割った余りを求めよ．