2021年入試問題研究に戻る理科4番解答
(1) $ KA=LB $ のとき， \[ K(A-B)=KA-KB=LB-KB=B(L-K) \] である．よって $ L-K\equiv 0\ (\bmod \ 4) $ なら $ K(A-B)\equiv 0\ (\bmod \ 4) $ となるが， $ K $ が奇数で4と互いに素なので， $ A-B\equiv 0\ (\bmod \ 4) $ である．
(2) 数列 $ \{a_n\} $ に対し， $ \displaystyle \prod_{k=1}^na_k $ で積 $ a_1a_2\cdots a_n $ を表すものとする． \begin{eqnarray*} {}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}&=&\prod_{k=0}^{4b}\dfrac{4a+1-k}{4b+1-k}\\ &=&\prod_{k=0}^{b}\dfrac{4a+1-4k}{4b+1-4k}\times\prod_{k=0}^{b-1}\dfrac{4a-4k}{4b-4k} \times\prod_{k=0}^{b-1}\dfrac{4a-1-4k}{4b-1-4k}\times\prod_{k=0}^{b-1}\dfrac{4a-2-4k}{4b-2-4k} \end{eqnarray*} ここで， $ \displaystyle \prod_{k=0}^{b}\dfrac{4a+1-4k}{4b+1-4k} $ ， $ \displaystyle \prod_{k=0}^{b-1}\dfrac{4a-1-4k}{4b-1-4k} $ ， および， $ \displaystyle \prod_{k=0}^{b-1}\dfrac{4a-2-4k}{4b-2-4k}=\prod_{k=0}^{b-1}\dfrac{2a-1-2k}{2b-1-2k} $ に現れるの各分数の分子分母はすべて奇数である． これらの分母の積を $ K $ ，分子の積を $ L $ とおく． また， $ \displaystyle \prod_{k=0}^{b-1}\dfrac{4a-4k}{4b-4k}=\prod_{k=0}^{b-1}\dfrac{a-k}{b-k}={}_a \mathrm{C}_b $ である．
よって $ {}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}=\dfrac{L}{K}{}_a \mathrm{C}_b $ となり， $ KA=LB $ となるような正の奇数 $ K,\ L $ が存在した．(3) $ a-b $ が2の倍数のとき，任意の整数 $ m $ に対して $ 2a-m\equiv 2b-m\ (\bmod \ 4) $ であるから， $ \displaystyle \prod_{k=0}^{b}\dfrac{4a+1-4k}{4b+1-4k} $ ， $ \displaystyle \prod_{k=0}^{b-1}\dfrac{4a-1-4k}{4b-1-4k} $ ， および， $ \displaystyle \prod_{k=0}^{b-1}\dfrac{2a-1-2k}{2b-1-2k} $ に現れる各分数の分母と分子はすべて4で割った余りが等しい．
したがって， $ K\equiv L\ (\bmod \ 4) $ である． この結果，(1)より， $ {}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1} $ を4で割った余りは $ {}_a \mathrm{C}_b $ を4で割った余りと等しい．(4) $ 2021=4\times 505+1 $ ， $ 37=4\times 9+1 $ ， $ 505=4\times 126+1 $ ， $ 9=4\times 2+1 $ なので， \[ {}_{2021} \mathrm{C}_{37}\equiv {}_{505} \mathrm{C}_{9}\equiv {}_{126} \mathrm{C}_{2}\ (\bmod \ 4) \] であり， \[ {}_{126} \mathrm{C}_{2}=\dfrac{126\cdot 125}{2}=63\cdot 125\equiv 3\cdot 1=3\ (\bmod \ 4) \] なので， $ {}_{2021} \mathrm{C}_{37} $ を4で割った余りは3である．