2021年入試問題研究に戻る理科6番
定数 $ b,\ c,\ p,\ q,\ r $ に対し， \[ x^4+bx+c=(x^2+px+q)(x^2-px+r) \] が $ x $ についての恒等式であるとする．
(1) $ p\ne 0 $ であるとき， $ q,\ r $ を $ p,\ b $ で表せ．
(2) $ p\ne 0 $ とする． $ b,\ c $ が定数 $ a $ を用いて \[ b=(a^2+1)(a+2),\ \quad c=-\left(a+\dfrac{3}{4} \right)(a^2+1) \] と表されているとき，有理数を係数とする $ t $ についての整式 $ f(t) $ と $ g(t) $ で \[ \{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+f(a)p^2+g(a)\}=0 \] を満たすものを1組求めよ．
(3) $ a $ を整数とする． $ x $ の4次式 \[ x^4+(a^2+1)(a+2)x-\left(a+\dfrac{3}{4} \right)(a^2+1) \] が有理数を係数とする2次式の積に因数分解できるような $ a $ をすべて求めよ．