2021年入試問題研究に戻る文科2番解答
(1) 選ばれた $ N $ 個の整数を，小さい方から \[ a_1=1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_N \] とする．
すべての $ i\ (1\leqq i \leqq N-1) $ で $ a_{i+1}-a_i=2 $ のとき， $ a_N=2N-1 $ である．
$ a_N=2N $ となるのは，ある $ i\ (1\leqq i \leqq N-1) $ で $ a_{i+1}-a_i=3 $ となるものが1つあるときである． これは $ N-1 $ 通りある．
よって，条件1を満たすような選び方は \[ 1+N-1=N（通り） \] ある．
(2) 連続する $ N-2 $ 個の整数を \[ l，l+1，\cdots，l+N-3 \] とする． $ l $ は \[ l=1,\ または 3\leqq l \leqq N+3 \] を満たす．
$ l=1 $ のときは， $ 1〜N-2 $ が連続し， $ N-1〜2N $ から2個選ぶので， $ 2N-(N-1)+1=N+2 $ より， $ {}_{N+2} \mathrm{C}_2 $ 通りある．
$ 3\leqq l \leqq N+3 $ のときは， $ 1 $ と $ l+N-2〜l+2N-2 $ の $ N $ 個から1個選ぶので， $ l+2N-2-(l+N-2)=N $ より， $ {}_{N} \mathrm{C}_1 $ 通りあり， $ l $ は $ N+1 $ 個ある．
よって，条件2を満たすような選び方は \[ \dfrac{(N+2)(N+1)}{2}+N(N+1)=\dfrac{1}{2}(N+1)(3N+2)（通り） \] ある．