2021年入試問題研究に戻る東北大数学AO 3番
$ n $ を正の整数， $ a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n $ を非負の整数として， 整式 \[ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_1x+a_0 \] を考える。ただし， $ a_0\ne 1 $ とする。 $ p $ が素数ならば $ f(p) $ も素数であるとき，次の(A)または(B)が成り立つことを示せ。 \[ \begin{array}{l} (\mathrm{A}) a_i=0\ (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)\ かつ\ a_0\ は素数である。\\ (\mathrm{B}) a_i=0\ (i=0,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots,\ n)\ かつ\ a_1=1\ である。 \end{array} \]