東北大後期3番解答
(1)
方法1
$ l $ の方程式を $ y=px+q $ とおく．これが $ C_a $ と接するのは，
2次方程式
\[
ax^2+\dfrac{1}{a}=px+q
\]
が重解をもつときである．それは，この2次方程式の判別式を $ D $ とすると，
\[
D=p^2-4a\left(\dfrac{1}{a}-q \right)=p^2-4+4aq=0
\]
となるときである． $ p=\pm 2 $ ， $ q=0 $ のとき， $ a $ の値に係わらず $ D=0 $ となる．
つまり直線 $ y=\pm 2x $ はつねに $ C_a $ と接する．
$ l:y=2x $ ，および $ l:y=-2x $ である．
方法2
$ C_a $ の方程式に対し， $ y'=2ax $ であるから，
上の点 $ \left(t,\ at^2+\dfrac{1}{a}\right) $ における接線の方程式は
\[
y=2at\left(x-t\right)+at^2+\dfrac{1}{a}
=2atx-at^2+\dfrac{1}{a}
\]
である． $ t=\pm \dfrac{1}{a} $ のとき，
この方程式は $ y=\pm 2x $ となり， $ a $ によらず一定である．よって $ l:y=2x $ ，および $ l:y=-2x $ である．
(2)
点 $ (X,\ Y) $ が， $ a $ を $ a\geqq 1 $ の範囲で動かしたときに曲線 $ C_a $ が通過する領域の点である条件は，
\[
Y=aX^2+\dfrac{1}{a},\ \quad a\geqq 1
\]
となる $ a $ が存在することである．
これを $ a $ で整理して
\[
X^2a^2-Ya+1=0
\]
となる． $ f(a)=X^2a^2-Ya+1 $ とおく． $ a $ の方程式 $ f(a)=0 $ が $ a\geqq 1 $ の解を持つ条件を求める．
i)
$ X=0 $ のとき
$ f(a)=-Ya+1=0 $ より $ a=\dfrac{1}{Y} $ なので， $ \dfrac{1}{Y}\geqq 1 $ ．つまり
$ 0