2021年入試問題研究に戻る1番
正の整数に関する条件 \[ (*) 10進法で表したときに，どの位にも数字9が現れない \] を考える．
（1） $ k $ を正の整数とするとき， $ 10^{k-1} $ 以上かつ $ 10^k $ 未満であって条件 $ (*) $ を満たす正の整数の個数を $ a_k $ とする． このとき， $ a_k $ を $ k $ の式で表せ．
（2）正の整数 $ n $ に対して， \[ b_k= \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{n}&(n が条件(*)を満たすとき)\\ 0&(n が条件(*)を満たさないとき) \end{array} \right. \] とおく．このとき，すべての正の整数 $ k $ こ対して次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \sum_{n=1}^{10^k-1}b_k < 80 \]