2021年入試問題研究に戻る1番解答
（1） 10進法で， $ 10^{k-1} $ 以上かつ $ 10^k $ 未満の数は $ k $ 個の数字で構成される。 条件を満たすものは，1の位から $ k-1 $ の位までは0〜8のいずれかであり， $ k $ の位は1〜8のいずれかである。よって， \[ a_k=8\cdot 9^{k-1} \] である。
（2） $ m $ 桁で条件を満たす $ n $ に対する $ \dfrac{1}{n} $ の和を $ c_m $ とおく。 $ 10^{m-1}\leqq n < 10^m $ なので， $ \dfrac{1}{n}\leqq \dfrac{1}{10^{m-1}} $ である。 よって， \[ c_m\leqq \dfrac{1}{10^{m-1}}\times a_m=8\left(\dfrac{9}{10} \right)^{m-1} \] である。これより， \begin{eqnarray*} S(k)&=&\sum_{m=1}^kc_m\\ &\leqq &\sum_{m=1}^k8\left(\dfrac{9}{10} \right)^{m-1} =8\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac{9}{10} \right)^k}{1-\dfrac{9}{10}}\\ &=&80\left\{1-\left(\dfrac{9}{10} \right)^k \right\}< 80 \end{eqnarray*} である。