2021年入試問題研究に戻る早大理工3番解答
(1) $ x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1) $ であるから， \[ x^6=(x^2+1)f(x)-1 \] となり， $ x^6 $ を $ f(x) $ で割ったときの余りは $ -1 $ である．
(2) 整式 $ p(x) $ と $ q(x) $ を $ f(x) $ で割った余りが等しいことを， $ p(x)\equiv q(x)\ (\bmod \ f(x)) $ と書く． $ 2021=336\times 6+5 $ である．よって， \[ x^{2021}=(x^6)^{336}\cdot x^5\equiv (-1)^{336}x^5\ (\bmod \ f(x)) \] \[ x^5=xf(x)+x^3-x \] なので， $ x^{2021} $ を $ f(x) $ で割ったときの余りは $ x^3-x $ である．
(3) \begin{eqnarray*} (x^2-1)^3&=&(x^2-1)(x^4-2x^2+1)\\ &\equiv &(x^2-1)(-x^2)\ (\bmod \ f(x))\\ &=&-x^4+x^2=-(x^4-x^2+1)+1\equiv 1\ (\bmod \ f(x)) \end{eqnarray*} である． $ n=3m $ とおく． \[ (x^2-1)^n-1=\{(x^2-1)^3\}^m-1\equiv 1^m-1=0\ (\bmod \ f(x)) \] であるから， $ (x^2-1)^n-1 $ は $ f(x) $ で割り切れる．