2022年入試問題研究に戻る京大特色理学部1番解答
多項式 $ P(x_1,x_2,\cdots ,x_n) $ を構成する単項式の項数を $ M $ ， 単項式の次数の最大値を $ m $ ，また係数の絶対値の最大値を $ A $ とする． $ AM,\ |a_1|,|a_2|,\cdots ,|a_n| $ の最大値を $ \alpha $ とする． このとき， \[ a_{n+1}=P(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\leqq AM\alpha^m<(\alpha+1)^{m+1} \] である．そして， $ i\geqq 1 $ に対して \[ a_{n+i}=P(a_i,a_{i+1},\cdots ,a_{n+i-1})<(\alpha+1)^{(m+1)^i} \] が成り立つことを $ i $ に関する数学的帰納法で示す．
上記のように $ i=1 $ では成立する． $ i=1,\ 2,\ \cdots,\ k $ のときの成立を仮定して $ i=k+1 $ での成立を示す．
\begin{eqnarray*} a_{n+k+1}&=&P(a_{k+1}i,a_{k+2},\cdots ,a_{n+k})\\ &<&AM(\alpha+1)^{(m+1)^k}<(\alpha+1)^{(m+1)^k+1}<(\alpha+1)^{(m+1)^{k+1}} \end{eqnarray*} である．よって， $ i=k+1 $ で成立する．
よって， $ c=\alpha+1 $ ， $ d=m+1 $ とおけば， $ i>n $ の $ i $ について，題意をみたす．
$ i\leqq n $ の $ i $ に対しては， \[ a_i\leqq \alpha< c< c^{d^i} \] は成立する．
従って，題意をみたす $ c $ と $ d $ の存在が示された．