2022年入試問題研究に戻る山口大学4番問題
整数全体を定義域とし，整数を値にとる関数 $ f(n) $ が，次の条件1，2を満たしているとする。 \begin{eqnarray*} &&\textbf{条件1} f(0)＝0\\ &&\textbf{条件2} 任意の整数\ n\ に対し，f(3+n)=f(3-n)\ かつ\ f(7+n)=f(7-n)\ が成り立つ \end{eqnarray*} 整数全体を定義域とする関数 $ g(n) $ ， $ h(n) $ をそれぞれ， $ g(n)=6-n $ ， $ h(n)=14-n $ とするとき， 次の問いに答えなさい。
(1) 合成関数 $ (h\circ g)(n) $ と $ (g\circ h)(n) $ を求めなさい。
(2) 任意の整数 $ n $ に対し，2つの等式 $ (f\circ g)(n)=f(n) $ と $ (f\circ h)(n)=f(n) $ が成り立つことを示しなさい。
(3) $ f(2022)=0 $ であることを示しなさい。
(4) 集合 $ A $ を，関数 $ f(n) $ のとりうる値全体の集合，すなわち， $ A=\{f(n)\ |\ nは整数\} $ とする。
このとき，集合 $ A $ の要素の個数は5以下であることを示しなさい。