20c年入試問題研究に戻る98慶応医
(1) $ xy $ 平面の楕円 $ x^2+\dfrac{y^2}{4}=1 $ の2点 $ \mathrm{P}(\cos\theta,\ 2\sin\theta) $ ， $ \mathrm{Q}(\cos(\theta+h),\ 2\sin(\theta+h)) $ をとる． ただし， $ 0< \theta< \dfrac{\pi}{2},\ h\ne 0 $ とする．2点 $ \mathrm{P},\ \mathrm{Q} $ におけるこの楕円の法線の交点は， $ h\to 0 $ とするとき，ある点 $ \mathrm{R} $ に近づく．この点 $ \mathrm{R} $ を求めよう．
まず，点 $ \mathrm{P} $ における法線の方程式は $ y=\fbox{ ア } $ である． 次に，2点 $ \mathrm{P},\ \mathrm{Q} $ における法線の交点の $ x $ 座標を求めると， $ x=\fbox{ イ } $ である． この $ x $ 座標は $ h\to 0 $ とするとき, $ \fbox{ ウ } $ に収束する．これが求める点 $ \mathrm{R} $ の $ x $ 座標である． 点 $ \mathrm{R} $ の $ y $ 座標は $ y=\fbox{ エ } $ であ(2) $ \theta $ が $ 0< \theta< \dfrac{\pi}{2} $ の範囲を動くとき， 対応する点 $ \mathrm{R} $ が描く曲線の概形を描け． また，この曲線に両端の点を付け加えて得られる曲線の長さを求めよ．