98慶応医
(1) 点 $ \mathrm{P} $ での接線は $ (\cos\theta) x+\dfrac{2\sin\theta}{4}y=1 $ であるので， 法線方向は $ \left(\cos\theta,\ \dfrac{\sin\theta}{2}\right) $ である． 点 $ \mathrm{P} $ における法線の上の点 $ (x,\ y) $ をとる． \[ (\cos\theta-x,\ 2\sin\theta-y)\parallel\left(\cos\theta,\ \dfrac{\sin\theta}{2}\right) \] より， \[ \dfrac{\sin\theta}{2}(\cos\theta-x)-\cos\theta(2\sin\theta-y)=0 \] つまり， 点 $ \mathrm{P} $ における法線の方程式は \[ y=\dfrac{\tan\theta}{2}x+\dfrac{3\sin\theta}{2} \] である． 点 $ \mathrm{Q} $ における法線の方程式は \[ y=\dfrac{\tan(\theta+h)}{2}x+\dfrac{3\sin(\theta+h)}{2} \] であるから，2式を連立して法線の交点の $ x $ 座標は \[ x=\dfrac{-3\sin(\theta+h)+3\sin\theta}{\tan(\theta+h)-\tan\theta} \] である． \begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\dfrac{-3\sin(\theta+h)+3\sin\theta}{\tan(\theta+h)-\tan\theta} &=&\lim_{h \to 0}\dfrac{-3\sin(\theta+h)+3\sin\theta}{h}\times \dfrac{h}{\tan(\theta+h)-\tan\theta}\\ &=&-3\dfrac{\left(\sin\theta \right)}{\left(\tan\theta \right)'}=-3\cos^3\theta \end{eqnarray*} この値を法線の方程式に代入して $ \mathrm{R} $ の $ y $ 座標は \[ \dfrac{\tan\theta}{2}\left(-3\cos^3\theta \right)+\dfrac{3\sin\theta}{2}= \dfrac{3}{2}\sin\theta(1-\cos^2\theta)=\dfrac{3}{2}\sin^3\theta \] である．
(2) $ 0< \theta< \dfrac{\pi}{2} $ において， \begin{eqnarray*} \dfrac{dx}{d\theta}&=&9\cos^2\theta\sin\theta\\ \dfrac{dy}{d\theta}&=&\dfrac{9}{2}\sin^2\theta\cos\theta\\ \dfrac{dy}{dx}&=&\dfrac{1}{2}\tan\theta >0\\ \dfrac{d^2y}{dx^2}&=&\dfrac{\dfrac{dy}{dx}}{d\theta}\cdot\dfrac{d\theta}{dx}\\ &=&\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\cos^2\theta}\dfrac{1}{9\cos^2\theta\sin\theta}>0 \end{eqnarray*} より，下に凸で単調増加である．そのグラフの慨形は次のようになる．
求める長さ $ L $ は
\begin{eqnarray*}
L&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta} \right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta} \right)^2}\,d\theta\\
&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{9}{2}\sin\theta\cos\theta\sqrt{1+3\cos^2\theta}\,d\theta
\end{eqnarray*}
ここで $ t=1+3\cos^2\theta $ とおくと，
\[
\dfrac{dt}{d\theta}=-6\sin\theta\cos\theta
\]
なので，
\[
L=\int_4^1\dfrac{9}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{6} \right)t^{\frac{1}{2}}\,dt
=\dfrac{7}{2}
\]