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95年文理

$x$ と $y$ の2文字からなる文字列 $z_n$ を次の規則(イ)，(ロ)で順次定めていく．

イ

$z_1=x$ とおく．

ロ

$z_n$ の中に現れるすべての $x$ を $yx$ で， すべての $y$ を $xx$ で置き換えてできる文字列を $z_{n+1}$ とする ( $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)．

例えば $z_2=yx$，$z_3=xxyx$，$z_4=yxyxxxyx$ である． 2次の正方行列 $A,\ B$ に対して，$z_n$ の中の $x$ を $A$ で，$y$ を $B$ で置き換え， 行列の積を作ってできる行列を $C_n$ とする． 例えば $C_1=A$，$C_2=BA$，$C_3=AABA$ （行列の積）である．

$A=\matrix{1}{1}{0}{1}$， $B=\matrix{-1}{0}{0}{1}$のとき， $n\ge 3$ ならば $C_n=\matrix{-1}{1}{0}{1}$であることを示せ．