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86年文理

座標平面の原点をOとし， $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vecarray{1}{1}$， $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vecarray{1}{-1}$ とする． また，$\alpha$，$\beta$ は2つの実数とする． 任意の点Pに対しベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ の $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ への正射影を $\overrightarrow{\mathrm{OP}_1}$ （すなわち点$\mathrm{P}_1$ はPからOとAを通る直線へおろした垂線の足）， $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ の $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ への正射影を $\overrightarrow{\mathrm{OP}_2}$ とし，1次変換 $f_{\alpha,\beta}$ を， $f_{\alpha,\beta}(\overrightarrow{\mathrm{OP}})=\alpha\overrightarrow{\mathrm{OP}_1}+\beta\overrightarrow{\mathrm{OP}_2}$ によって定める．

1次変換 $g$ がどのような $\alpha$，$\beta$ に対しても $f_{\alpha,\beta}\circ g=g\circ f_{\alpha,\beta}$ （$\circ$ は変換の合成を表す）となるため必要十分条件は， ある $\alpha'$，$\beta'$ に対して $g=f_{\alpha',\beta'}$ となることである．これを証明せよ．