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複素数と三角形の面積

問題 2.7       解答2.8

複素平面上に原点 $\mathrm{O}(0)$ と，2点 $\mathrm{A}_1(\alpha_1),\ \mathrm{A}_2(\alpha_2)$ がある．
さらに $\bigtriangleup \mathrm{OA_1A_2}$の辺 $\mathrm{A_1A_2}$ ， $\mathrm{A_2O}$ ， $\mathrm{OA_1}$ 上に点 $\mathrm{B_0}(\beta_0)$ ， $\mathrm{B_1}(\beta_1)$ ， $\mathrm{B_2}(\beta_2)$をとる．

1. $\bigtriangleup \mathrm{OA_1A_2}$の面積は
   
   $$\dfrac{1}{2}\vert\mathrm{Im}(\bar{\alpha_1}\alpha_2)\vert$$
   
   
   であることを示せ．
2. 線分 $\mathrm{OB_0}$ ， $\mathrm{A_1B_1}$ ， $\mathrm{A_2B_2}$ を $k:1-k\ \ (0 \le k \le 1)$ に内分する点を $\mathrm{X}(x)$ ， $\mathrm{Y}(y)$ ， $\mathrm{Z}(z)$ とし， $\bigtriangleup \mathrm{XYZ}$ の面積を $S_k$ とする． $S_k$ を $S_0,\ S_1,\ k$ で表せ．
3. $k$ を0から1まで変化させるとき，途中で $S_k=0$ となることが起こるための条件を $S_0,\ S_1$ を用いて表せ．