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ポンスレの閉形定理

2002年センター試験数学IAの第4問は，ポンスレの閉形定理です．この    問題を座標幾何で解く．

詳しくは『数学対話』「ポンスレの閉形定理」参考．

問題 2.10       解答2.11

$R,\ r,\ a$ は $0<a<R-r$ を満たす正の定数とする．

$xy$ 平面の二つの円 $\ C_1\ :\ x^2+y^2=R^2 \ \ ,\ \ C_2\ :\ (x-a)^2+y^2=r^2$ がある．

$C_1$ 上の一点 $\mathrm{P}$ から $C_2$ にひとつの接線をひき，その延長が再び $C_1$ と交わる 点を $\mathrm{Q}$ とする． $\mathrm{Q}$ から $C_2$ に $\mathrm{PQ}$ とは異なる接線をひき， その延長が再び $C_1$ と交わる点を $\mathrm{R}$ とする． $\mathrm{R}$ から $C_2$ に $\mathrm{QR}$ とは異なる接線をひき，その延長が再び $C_1$ と交わる点を $\mathrm{S}$ とする．

1. $\mathrm{P}(-R,\ 0)$のとき，$\mathrm{S=P}$となった． $R,\ r,\ a$の間に成り立つ関係を求めよ．
2. 実数 $s,\ t$ に対し $\mathrm{P} \left(\dfrac{R(1-s^2)}{1+s^2},\ \dfrac{2Rs}{1+s^2} \right)$ と $\mathrm{Q} \left(\dfrac{R(1-t^2)}{1+t^2},\ \dfrac{2Rt}{1+t^2} \right)$ は $C_1$ 上の2点である． 直線 $\mathrm{PQ}$ が円 $C_2$ に接するための条件を $s,\ t$ の多項式で表せ．
3. $R,\ r,\ a$ の間に(1)で求めた関係式が成り立つとき，任意の点 $\mathrm{P}$ に対して $\mathrm{S=P}$となることを示せ．