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場合の数の系統だった数え方，期待値

98年京大の    問題の一般化です．

問題 4.1       解答4.1

一般化された問題を解け．

原題(98年の京大)
袋に青色，赤色，白色の形の同じ玉がそれぞれ 3 個ずつ入っている．各色の 3 個の玉にはそれぞれ 1 , 2 , 3 の番号がついている．これらの 9 個の玉をよくかきまぜて袋から同時に 3 個の玉を取り出す． 取り出した 3 個のうちに同袋の中に青色，赤色，白色の形の同じ玉がそれぞれ3個ずつ入っている． 各色の3この玉には，それぞれ1，2，3の番号がついている． これら9個の玉をよくかきまぜて復路から同時に3個の玉を取り出す． 取り出した3個のうちに同色のものが他になく，同番号のものも他にない玉の個数を得点とする． たとえば，青1番，赤1番，白3番を取り出したときの得点は1で， 青2番，赤2番，赤3番を取り出したときの得点は0である．このとき以下の問いに答えよ．

1. 得点が$n$になるような取り出し方の数を$A(n)$とするとき， $A(0),A(1),A(2),A(3)$ を求めよ．
2. 得点の期待値を求めよ．

一般化
袋に，$k$種の色でぬられた同じ形の玉が$k$個ずつ$k^2$ 個入っている． 各色の$k$個の玉には 1 から$k$まで番号がついている．ここから同時に$k$ 個の玉を取り出す． $k$個のうち同色のものが他になく，同番号のものも他にない玉の個数を得点とする．

得点が $n$ になるような取り出し方の総数を $f_k(n)$ とする．

1. $f_k(n)$ を求める一般的な方法を見いだし， $f_4(0),\ f_5(0)$を求めよ．
2. 得点の期待値を $k$ の式で表せ．
3. $f_k(n)$を$k$と$n$ の式で表すことはできるか．