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バナッハのマッチ箱

問題 4.3       解答4.3

1. $n$ 本入ったマッチ箱が2つあり，各箱から任意に取り出していく． 一方を開けたら空であったとき，他方に $k$ 本のマッチが残っている確率 $p_k$ を求めよ． ただし，$2n$本使うまで試行はなされるものとする．
2. 残っている本数の期待値がE_n
   
   $$\dfrac{(2n+1){}_{2n}\mathrm{C}_{n}}{2^{2n}}-1$$
   
   であることを証明せよ．

   ただし必要なら，$\vert x\vert<1$ のとき $\dfrac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+ \cdots$ となることを 用いてよい．
   ※ただし，用いない方法もある．