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期待値が自然対数の底

問題 4.9       解答4.9

【問題甲】
$n$は自然数である． 箱の中に数字 $1,\ 2,\ \cdots,\ n$を書いた札が1枚ずつ入っている． この箱の中から無作為に札を1枚取り出し，札に書かれている数字を 記録してから札を箱の中に戻すという試行を繰り返す． そして，記録された数字の合計がはじめて$n$より大きくなったときに 試行を終えるものとする．

1. この試行が$k$回で終わる確率を求めよ．
2. 試行が終わるときまでの試行の回数の期待値を $E_n$ とする． $$\lim_{n \to \infty} E_n$$ の値を求めよ．

【問題乙】
開区間$(0,\ 1)$から無作為に実数$a$を選び記録する試行をくりかえす． 記録された数字の合計がはじめて1より大きくなる回数の期待値を求めよ．