1
n
人が
巴戦を行うとき，それぞれの優勝する確率と
終了するまでの試合回数（番数）の期待値を求めよ．
ただし，実力は同じとする．
詳しくルールを説明すると以下の通り． n人が一列に並んでいる． 先頭の二人が勝負をして勝った方が先頭に残る． 負けた方は列の最後につく． これを繰り返して(n-1)連勝したとき優勝する．
巴戦は相撲で行われている優勝決定戦です． 千秋楽が終わったとき白星の最も多い者が二人いるときは その二人で一番の相撲をとって勝った方が優勝です． しかし，三人のときは上の巴戦を行います． 最初の二人が後に戦う人より少し有利だと言うのは 良く知られた事実です． この事実は「最初に戦う者は二番続けて行うから疲れる． だから平等．．．？？」とかいういい加減な説明で かたづけられているようです．
これをn人でやったらどうなるのか， というのが この問題です． 実際の相撲で 四人以上の優勝候補者がいる場合， 巴戦を行わずトーナメントを行うようです． 伝統的な巴戦を捨てるのは納得がいきませんね （だったら三人でもやめるべきでは？）． 「終了するまでの番数の期待値が あまりに増大するのであればトーナメントでも やむなし」という結論が得られるならば納得できるので， 終了するまでの番数の期待値も求めましょうという ことにしました．
すぐにできると思っていたのですが 途中で放置したりして，いろいろな人に相談して 数ヶ月を経てやっと解答を得ることができました． 最終的な解答は カワノーエ氏，Ｙ氏の協力によります．
この問題は素朴な問であり，しかも，解答も 高校生か大学一年生で理解できます（そのはず）． ですが，どの解法もかなり計算の複雑さを窮めています．いい別解はありませんか？