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曲線の計量

美樹　 2点間の距離,つまり直線の長さについてはわかってきました．

でも曲線の長さはどのように決めるのですか．

南海　 一気に難しいところだ．

点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$までの連続でなめらかな曲線$C$ の長さ$L$は，次のように考える．

曲線$C$上に点列

$$\mathrm{A}_0=\mathrm{A},\ \mathrm{A}_1,\ \cdots,\ \mathrm{A}_n=\mathrm{B}$$

をとる．この点列を$P$としよう．

美樹　 いろんな点列を考えるのですか．

南海　 そう． 一つの点列$P$に対して 折れ線 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1\cdots\mathrm{A}_n$の長さを

$$L_P=\sum_{k=0}^{n-1}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}$$

とおく．

美樹　 $n$も増やし$P$をどんどん細かくしていった極限が曲線の長さなのですね．

南海　 連続曲線に関していえばそのように考えてよい． あらゆる折れ線$P$を考え，すべての$P$に関して

$$L_P\le l$$

となるような$l$の最小値が存在するとき， その最小値を曲線の長さ$L$と定める．

美樹　 2点を結ぶ最小値が直線の長さなのだから， 分割を細かくすれば，和$L_P$は増大していく．

曲線がはじめから折れ線でないかぎり， 折れ線での近似は近似であって$L$とは一致しない．

つねに$L$よりは小さい． だからこんな言い方をするのですか．

南海　 そういうことだ． 詳しくは大学の解析で習ってもらいたい．

微分可能曲線の長さ

南海　 そこで，$t$を媒介変数とし， 微分可能な関数$f(t),\ g(t)$を用いて$x=f(t)$，$y=g(t)$ と表される曲線の長さを考えておこう．

最近，これが数学IIIで必修でなくなったそうだ． 「計量」ということを高校数学に取り入れながら， 曲線の長さを外すというのは困ったことだ．

$xy$平面上の曲線$C$が， $x=f(t),\ y=g(t)$ と媒介変数$t$によって表されているとする． $f(t),\ g(t)$はそれぞれ$t$で微分可能とする．

このとき，曲線$C$の $t=a$に対応する$C$上の点$(f(a),\ g(b))$から $t=b$に対応する$C$上の点$(f(b),\ g(b))$までの 長さ$L$は

$$L=\int_a^b\sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}\,dt$$

で求まる．

証明の概略を示そう．

$t$の区間$[a,\ b]$を$n$等分し

$$a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$$

とする．また $\Delta t=\dfrac{b-a}{n}$とおく．

$$L_n=\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{\{f(t_{k+1})-f(t_k)\}^2+\{g(t_{k+1})-g(t_k)\}^2}$$

平均値の定理によって

$$\begin{eqnarray*} f'(c_k)&=&\dfrac{f(t_{k+1})-f(t_k)}{t_{k+1}-t_k}=\dfrac{f(t_{k... ..._{k+1})-g(t_k)}{t_{k+1}-t_k}=\dfrac{g(t_{k+1})-g(t_k)}{\Delta t} \end{eqnarray*}$$

となる$c_k,\ d_k$が区間 $[t_k,\ t_{k+1}]$にとれる．

これから

$$\begin{eqnarray*} L_n&=&\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{\{f'(c_k)\Delta t\}^2+\{g'(d_k)\De... ...^2}\\ &=&\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{{f'(c_k)}^2+{g'(d_k)}^2}\Delta t \end{eqnarray*}$$

美樹　 区分求積の形です．

南海　 詳しくは『数学対話』−『定積分の定義』を見てほしい．

$c_k$と$d_k$と出てくるのでもう少し詳しく考えなければならないのだが， $n\to\infty$の極限が存在し，

$$\lim_{n \to \infty}L_n=\int_a^b\sqrt{{f'(t)}^2+{g'(t)}^2}\,dt$$

となることが示される．

美樹　 この値を$L$とするのですね．

南海　 高校の教科書では， 曲線の長さをすでに知っているものとして，次のように示す．

$t=a$に対応する$C$上の点$(f(a),\ g(b))$から $t$に対応する$C$上の点$(f(t),\ g(t))$までの 長さを$L(t)$とおく．

図のように$t$を$t+\Delta t$まで変化させる．$\Delta t$が小さいときは 曲線の長さの増加分 $L(t+\Delta t)-L(t)$は，

$$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$$

にほぼ等しい． 「ほぼ等しい」というのは， 誤差が$\Delta x$や$\Delta y$よりさらに一段小さく， 割って極限をとるときには無視できる，ということなのだ．

証明を厳格にする方法はもちろんあるが，「ほぼ等しい」というつかみ方も大切だ．

よって

$$\dfrac{L(t+\Delta t)-L(t)}{\Delta t}\neaeq \dfrac{\sqrt{(\De... ...\Delta t}\right)^2+ \left(\dfrac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}$$

$\Delta t\to 0$の極限でこれは一致する．

$$\dfrac{dL(t)}{dt}= \sqrt{ \left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+ \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}$$

これから原始関数を求める計算をし，$L(a)=0$を用いれば

$$L(t)=\int_a^t\sqrt{ \left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+ \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2} \,dt$$

となる．$t=b$を代入すればよい．

また曲線が$y=f(x)$で表されるときは，$x=t,\ y=f(t)$となるので， $t$を$x$に置きかえることで，$x=a$の点から$x=b$の点までの長さ$L$は

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx$$

となる． 次: 角という量 上: 計量ということ 前: 三角形の成立条件と距離の公理