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数列の極限とはさみうちの原理

史織　 数列 $\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$ が

$$a_n<b_n<c_n\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$$

をみたしている．

$$\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} c_n=\alpha\quad \cdots\maru{1}$$

なら

$$\lim_{n \to \infty} b_n=\alpha \quad \cdots\maru{2}$$

となる．これが「はさみうちの原理」ですが，この証明を次のように考えていました．

$a_n<b_n<c_n$より

$$\lim_{n \to \infty} a_n\le \lim_{n \to \infty} b_n \le \lim_{n \to \infty} c_n$$

$$∴\quad \alpha\le \lim_{n \to \infty} b_n \le \alpha$$

つまり

$$\lim_{n \to \infty} b_n=\alpha$$

でも，「はさみうちの原理」というにしては簡単すぎるし，これで証明になっているのでしょうか．

南海　 ともすればこのように考えやすいが，これは「はさみうちの原理」の証明としては不完全だ．

一般に，極限の入った等号$\maru{2}$は何を意味しているのかといえば

左辺の極限が存在し，その値が右辺に等しい．

ということだ．

史織　 すると，私の証明では，数列$\{b_n\}$が収束すること，極限の存在の証明が抜けているのですね．

でもそれはどのようにして示せばよいのですか．

南海　 そういうときは「定義にかえれ」だ．数列$\{a_n\}$が値$\alpha$に収束するとはどういうことか．

史織　 「$n$が大きくなれば$a_n$の値が$\alpha$に近づく」ということです．

南海　 「近づく」というのはどういうことか．

史織　 「数直線上の距離が小さくなる」，ですか?

南海　 そうだ．つまり$\vert a_n-\alpha\vert$がいくらでも小さくなるということが， 数列$\{a_n\}$が値$\alpha$に収束するということの定義だ．

史織　 でも，「いくらでも小さくなる」が「0に収束する」ということなら， 「収束」を定義するのに「収束」を用いたことにはなりませんか．

南海　 うーん．それは鋭い質問だ．「いくらでも小さくなる」といったあいまいな言葉を使わずに 収束することを定義しなければならない． いろんな人もこのようなことを考えた．そこで考え出されたのが次のような定義だ． これは「実数の連続性と代数学の基本定理」で同じことが言われているのだが，改めて 数列「収束」を定義しよう．

数列$\{a_n\}$と数$\alpha$がある． 任意の正の実数$\epsilon$に対して，番号$N$で
        $N<n$であるすべての$n$について $\vert a_n-\alpha\vert<\epsilon$
となるものが存在するとき， $$\lim_{n \to \infty}a_n$$が 存在し，極限値が$\alpha$であると定める．

「任意の正の実数$\epsilon$に対して，番号$N$で…となるものが存在」というところは 「どのような小さい」正の実数$\epsilon$が指定されても，それに対して，「つねに」番号$N$が存在する， ということなのだ．そのような副詞を省いて論理の骨子で言うと先のようになるのだ．

この定義がわかりにくいときは例で考える．数列$\{a_n\}$を $a_n=1+\dfrac{1}{n}$とする． これはもちろん1に収束する．$\epsilon$を $\dfrac{1}{100}$にして，ある番号$N$より大きい番号では

$$\vert a_n-\alpha\vert<\dfrac{1}{100}$$

にせよ，といわれれば，

史織　 (少し考え)$N=100$ですね．そうか， $\dfrac{1}{10000}$より小さくしたければ$N=10000$だ， どんなに小さい$\epsilon$でも，つねに番号$N$は存在しますね．

では， $a_n=n\sin\dfrac{1}{n}$も1に収束しますが，

$$\vert n\sin\dfrac{1}{n}-\alpha\vert<\dfrac{1}{100}$$

となると，どうなるのでしょう．

南海　 いろいろ考えるな．一般には具体的に$N$を求めるのは簡単でない．

史織　 実際に$N$を求めるということではなく，$N$が存在するということで，「収束」を定義するのですね．

この「収束」の定義って「いくらでも」とか「近づく」とかのよくわからない言葉が入っていませんね．

南海　 そうなのだ．

その代わりに「任意の」という論理の言葉が入る．これがいわゆる $\epsilon-\delta$論法というもので， 大学初年に習う解析の最初の関門だが，このように考えれば自然な発想であることがわかる．

史織　 今は$\delta$ではなく$N$でしたが．

南海　 $\epsilon-\delta$論法は次のように $$\lim_{x \to a}f(x)=\alpha$$ を定義する．

関数$f(x)$と数$\alpha$がある． 任意の正の実数$\epsilon$に対して，正の実数$\delta$で
        $\vert x-a\vert<\delta$である$x$について $\vert f(x)-\alpha\vert<\epsilon$
となるものが存在するとき，極限 $$\lim_{x \to a}f(x)$$が存在し 極限値が$\alpha$であると定める．

史織　 これもわかります．

南海　 いずれにせよ，このような厳密な定義があるということを知ったうえで， 数列$\{a_n\}$が数$\alpha$に収束するとは， $n$が大きくなるとき，絶対値$\vert a_n-\alpha\vert$がいくらでも小さくなることと理解すればよい．

この定義のもとではさみうちの原理を証明しよう．

条件$\maru{1}$のもとで，$\vert b_n-\alpha\vert$がいくらでも小さくなることを示せばよい．

$$\begin{eqnarray*} \vert b_n-\alpha\vert&=&\vert b_n-a_n+a_n-\alpha\vert\\ &\le&... ..._n-a_n+\vert a_n-\alpha\vert\\ &<&c_n-a_n+\vert a_n-\alpha\vert \end{eqnarray*}$$

$$\lim_{n \to \infty}\{c_n-a_n+\vert a_n-\alpha\vert\}=\alpha-\alpha+\vert\alpha-\alpha\vert=0$$

なので$n$が大きくなると$\vert b_n-\alpha\vert$がいくらでも小さくなる．

よって数列$\{b_n\}$は$\alpha$に収束する．つまり

$$\lim_{n \to \infty} b_n=\alpha$$

史織　 三角不等式ですか．

南海　 そう．そこで注意を一つ．

$$0<\vert a_n-1\vert<\dfrac{1}{2^n}$$

などで， 「 $$\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{2^n}=0$$なのではさみうちの原理によって $$\lim_{n \to \infty}\vert a_n-1\vert=0$$」と書く人がいるが， これは収束の定義そのものでさみうちの原理によるのではない．

はさみうちの原理は $\{a_n\},\ \{c_n\}$のいずれもが定数でないときに両方が同じ値に収束すれば， $\{b_n\}$も収束してその極限値が$\alpha$であることを示すものである．これはしっかりと押さえておきたい．

南海　 せっかく収束を厳密に考えたのだから，次のことも示しておこう．

2つの数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$がすべての$n$で$b_n<a_n$を満たし，各々が収束すれば

$$\lim_{n \to \infty}b \le \lim_{n \to \infty}a_n$$

史織　 それぞれの極限を $\alpha,\ \beta$とする．$\alpha<\beta$であると仮定する． $\dfrac{\beta-\alpha}{2}$より小さい$\epsilon$をとる．$N$が存在して$N<n$に対して $\vert\alpha-a_n\vert<\epsilon$， $\vert\beta-b_n\vert<\epsilon$となる．

このとき図のように$a_n<b_n$なので，条件と矛盾した．

南海　 これでよい．

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