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確率変数の独立と積の期待値

確率変数$X,\ Y$が互いに独立であるとは，$X$のとる任意の値$a$と$Y$のとる任意の値$b$について

$$P(X=a,\ Y=b)=P(X=a)P(Y=b)$$

が成り立つことを言う．

確率変数$X$と$Y$が互いに独立であるときは，確率変数$XY$の期待値は

が成り立つ．

史織　

$$\begin{eqnarray*} E(XY)&=&\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (x_iy_j)P(X=x_i,\ Y=y_j)\\ ... ...i)\right\}\left\{\sum_{j=1}^m y_jP(Y=y_j)\right\}\\ &=&E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$$

積についても， 期待値は根元事象の全体にわたる和であるという観点から $E(XY)=E(X)E(Y)$を示せませんか．

南海　 それは無理だ．どうしてかというと，事象の独立性が基本なのだが，根元事象は互いに独立ではないので， 根元事象に帰着させることは出来ない．

ここで確率変数の独立性を問う過去問題を紹介しよう．

演習 19       ［90京大前期理系］解答19

正$N$角形の頂点に $0,\ 1,\ \cdots,\ N-1$と時計回りに番号がつけてある．頂点0を出発点とし， サイコロを投げて出た目の数だけ頂点を時計まわりに移動し，着いた頂点の番号を$X$とする． 次にもう一度サイコロを投げて出た目の数だけ，頂点$X$から時計まわりに移動し，着いた頂点の番号を$Y$とする． このようにして定めた確率変数$X,\ Y$について

1. $N=5,\ 6$のそれぞれの場合について，$X$と$Y$は互いに独立か．
2. $X$と$Y$が互いに独立となる$N\ (N\ge 3)$をすべて求めよ．

ただし，確率変数$X,\ Y$が互いに独立であるとは， $X=i$となる確率$P(X=i)$と， $X=i,\ Y=j$となる確率$P(X=i,\ Y=j)$との間に，次の等式が任意の $i,\ j\ (0\le i,\ j\le N-1)$について 成り立つことである．

$$(*)\quad P(X=i,\ Y=j)=P(X=i)P(Y=j)$$