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条件付確率

南海　 この節の後半は数学Cで習う範囲なのだが，数Aの確率の理解のためにもぜひ押さえておきたい．

確率空間$(U,\ p)$と2つの事象$A$と$B$があるとする．

確率$p$に対して，事象$A$が起こったという前提のもとで$B$が起こる確率を考える．

史織　 事象$A$が起こったことが前提なので，$p_A(A)=1$でなければならない． 事象$A$が起こったという前提のもとで$B$が起こるので，$U$の部分集合として事象は$A\cap B$です． この事象$A\cap B$が事象$A$の確率を1としたとき，どのような確率で起こるかが $p_A(B)$だから，$p_A(A)=1$とあわせて

$$p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$$

です．

南海　 そういうことだ．$A$が起こるという条件の下での確率なので条件付き確率という．

条件付き確率$p_A$は，集合$A$を標本空間とする確率になっている．

つまり，標本空間$U$を狭めて，集合$A$を新たな標本空間とし， $A$に含まれる$B$の要素$A\cap B$の確率$p_A$を$p_A(A)=1$となるように $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$ で定義する．このとき$(A,\ p_A)$が新たな確率空間となる．

史織　 確認してみます．確率の定義の条件をみたせばよいのですね．$B\subset A$に対しては$A\cap B=B$で

1. $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}\ge 0$
2. $p_A(A)=\dfrac{p(A\cap A)}{p(A)}=\dfrac{p(A)}{p(A)}=1$
3. $B,\ C\subset A$で $B\cap C=\emptyset$のとき
   
   $$p_A(B\cup C)=\dfrac{p(B\cup C)}{p(A)}=\dfrac{p(B)+p(C)}{p(A)}=p_A(B)+p_A(C)$$
   
   

$B$や$C$が$A$の部分集合でなくても $(A\cap B)\cap (A\cap C)=\emptyset$なら $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$なので

$$\begin{eqnarray*} p_A(B\cup C)&=&\dfrac{p(A\cap(B\cup C))}{p(A)}\\ &=&\dfrac{p(... ...)}\\ &=&\dfrac{p(A\cap B)+p(A\cap C)}{p(A)}\\ &=&p_A(B)+p_A(C) \end{eqnarray*}$$

です．

南海　 それは $B,\ C\subset A$で $B\cap C=\emptyset$のときの証明の中で済んでいる． しかしいろいろやってみることは大切だ．

なお，根元事象が同様に確からしく，集合の要素の個数で確率が決まるときは，

$$\begin{eqnarray*} p_A(B)&=&\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} =\dfrac{\dfrac{n(A\cap B)}{n(U)}}{\dfrac{n(A)}{n(U)}}\\ &=&\dfrac{n(A\cap B)}{n(A)} \end{eqnarray*}$$

これを見れば$A$自身を標本空間とする確率であることは明らかだ．

そこで大切なこと．