次： 命題の構成 上： 命題の否定，論理和，論理積 前： でない，または，かつ

条件の否定，論理和，論理積

史織　 命題にこのように否定，論理和，論理積があるのなら，それに対して命題関数，つまり 条件にも否定，論理和，論理積があるのですね．

南海　 その通り．上の命題の主題部分を変数に変えればよい．

1. $p(x)\ :\ x$ は4の倍数である．
2. $q(x)\ :\ x$ は平方数である．
3. $r(x)\ :\ x$ は奇数である．
4. $s(y)\ :\ y$ は奇数である．
5. $t(y)\ :\ y$ は平方数である．

これらに対して

1. $x$は4の倍数でない．
2. $x$は4の倍数または奇数である．
3. $x$は4の倍数かつ奇数である．
4. $x$は4の倍数または平方数である．
5. $x$は4の倍数かつ平方数である．
6. $x$は4の倍数または$y$は奇数である．
7. $x$は4の倍数かつ$y$は奇数である．
8. $x$は4の倍数または$y$は平方数である．
9. $x$は4の倍数かつ$y$は平方数である．

が作れる．記号で書くと

1. $\overline{p(x)}$
2. $p(x)\vee r(x)$
3. $p(x)\wedge r(x)$
4. $p(x)\vee q(x)$
5. $p(x)\wedge q(x)$
6. $p(x)\vee s(y)$
7. $p(x)\wedge s(y)$
8. $p(x)\vee t(y)$
9. $p(x)\wedge t(y)$

となる．

史織　 条件から新たな条件を作る操作も，もとは命題の変形から来ているのですね．

南海　 この順に考えるのがはっきりすると思う．

史織　 変数が $x$ と $y$ のときの定義域はどうなるのですか．

南海　 これは例えば $xy$ 平面上の点全体を定義域とすればよい．すると 「$x$は4の倍数」という 条件は， $x$ 座標が4の倍数ということであり， 「$y$は平方数である」という 条件は， $y$ 座標が平方数ということになる．

史織　 そうすると「かつ」や「または」の意味もわかりました．

南海　 さて，ここで条件の否定，論理和，論理積に対してその真理集合がどうなるかを確認しておこう．

ただし集合 $A,\ B$ に対して $\overline{A}$ は補集合， $A\cup B$ は和集合， $A\cap B$ は共通部分(積集合ともいう)を表すことは，知っているとする．

史織　 条件 $p$ の否定の真理集合は

$$T_{\overline{p}}=\{\ x\ \vert\ p(x) が真でない\ \}$$

ですから， $\overline{T_p}$ です．つまり

$$T_{\overline{p}}=\overline{T_p}$$

です．

また，条件 $p$ と $q$ の論理和 $p\vee q$ の真理集合は

$$T_{p\vee q}=\{\ x\ \vert\ p(x) が真または q(x) が真\ \}$$

ですから， $T_p\cup T_q$ です．つまり

$$T_{p\vee q}=T_p\cup T_q$$

です．

同様に， 条件 $p$ と $q$ の論理積 $p\wedge q$ の真理集合は

$$T_{p\wedge q}=\{\ x\ \vert\ p(x) が真かつ q(x) が真\ \}$$

ですから， $T_p\cap T_q$ です．つまり

$$T_{p\wedge q}=T_p\cap T_q$$

です．

南海　 条件の「否定」「論理和」「論理積」のそれぞれの操作に対して，それぞれ 真理集合の「補集合」「和集合」「積集合」が対応する．

史織　 集合では．ド・モルガンの法則というのを習いました．二つの集合 $A,\ B$ に対して

$$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B},\ \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$$

を習いました．これに対応して二つの命題 $p,\ q$ に対して

$$\overline{p\wedge q}=\overline{p}\vee \overline{q},\ \overline{p\vee q}=\overline{p}\wedge \overline{q}$$

が成り立つのですね．

これは例えば第一式は

$$条件「 p かつ q 」の否定条件\ =\ \overline{p}\ または\ \overline{q}$$

ということで，これまでにも使ったことがあります．