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微分と積分

南海　 ここで大切なことがある． 積分を微分の逆演算として定義する現行教科書の方法では， 積分は微分あってはじめて定義されると思い込む．

青空学園でも，そのように考えていたが， 『解析基礎』を読んでそうでないことに気づいたいう， 投稿をもらったことがある．

僕は、理学部物理学科の３回生です。青空学園数学科の様々な記事を読ませていただき、心から感動しました。本当にありがとうございます。中でも特に感激したのが、「解析基礎」の記事です。僕は物理学科ですが、数学に非常に興味があり、数学科の授業をいろいろと履修しています。昨年、「ルベーグ積分」の授業を受講しました。しかし、単位はとれたものの、理解したとは全く言えない状態でした。具体的には次のような疑問が残りました。

• 測度のもつ性質がいろいろあって煩雑すぎる。本質はどれか。
• リーマン積分で成り立たないことがルベーグ積分で成り立つのはなぜか。
• 原始関数と定積分はどのように結び付くのか。

などなどです。

いろいろなルベーグ積分の本を読みましたがすっきりすることはありませんでした。しかしあきらめずに勉強を続けていると結局、

• 面積（測度）はどのように定義されるのか
• 微分の逆演算がなぜ、定積分と関連するのか

ここがわかっていないのだと気付きました。そんなとき、インターネットで青空学園の記事を見つけたのです。そこで、「定積分は微分とは独立に定義されるもの」という、僕にとって革命的な記事に出会いました。感動と悔しさで涙が出ました(笑)。

確かに、高校数学では、定積分を原始関数の差で定義しています。だから、原始関数が存在するかどうかなんて考えもせずに、定積分を計算します。僕もその一人でした。このことが、ルベーグ積分がわからなかった根本の原因だったのです。計算方法の習得だけで根拠がわからなければ、やはりどこかで弊害が出てくるのですね。

「解析基礎」は全て読ませていただき、自分なりにノートにまとめています。まだ拝見できていない記事もありますが、今後もずっと、参考にさせていただくことになると思います。新しい記事も楽しみにしていますので、これからもよろしくお願いします。

史織　 微分と積分は，歴史的にも，数学的にも，別々に定義される． 独立して定義されたものが，結びつくからこそ，「基本定理」なのですね．

南海　 そうなのだ． 関数$f(x)$に対して定積分

$$\int_a^xf(t)\,dt$$

これをxの関数とみるとき，不定積分という．は微分を用いずに定義される． これを$F(x)$とおこう．

一方，$F(x)$の微分もまた積分とは独立に定義される． すなわち，

$$\dfrac{d}{dx}F(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}$$

である．ところが，この二つが，

$$\dfrac{d}{dx}F(x)=f(x)$$

と結びつく． これがが「微積分の基本定理」なのだ．

史織　すると，不定積分と原始関数はまったく別の概念なのですね．

南海　そうなのだ．そしてそれが実は一致する，これを主張するのが微分積分の基本定理をいうことでもある．

史織　ところが日本の教科書は「F'(x)=f(x)となる関数$F(x)$を$f(x)$の不定積分，または原始関数という．」と書かれている．

南海　これではいちばん大切な発見が，次代に伝わらない．この発見は人間の歴史にとっても大変重要なことなのだが， 高校での定義ではこのことが伝わらない． しかし前にも言ったが，かつては違っていたのだ．

もとより証明をつけながら， 微分積分の世界を拓いてゆくことは簡単なことではない． これについては『解析基礎』を見て欲しい．

最後に，リーマン和に関する入試問題を紹介しておこう．

演習 1       ［03京大後期理系5番］　極限 $$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k\left(\dfrac{k}{2n} \right)^{100}$$ を求めよ．