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SL(2)の分解

南海　 そういうことだ． まず，$SL(2)$の任意の要素は，３つの型の行列

$$\left( \begin{array}{cc} \alpha&0\\ 0&\alpha^{-1} \end{ar... ...t),\ \left( \begin{array}{cc} 1&0\\ u&1 \end{array}\right)$$

の積に分解することが出来る．

耕介　 やってみます． $\sigma= \left( \begin{array}{cc} p&q\\ r&s \end{array}\right)$をとります． $s=0$のときは$r=-q^{-1}$なので

$$\left( \begin{array}{cc} p&q\\ -q^{-1}&0 \end{array}\righ... ...ight) \left( \begin{array}{cc} 1&q\\ 0&1 \end{array}\right)$$

です．$s\ne 0$のときは

$$\left( \begin{array}{cc} p&q\\ r&s \end{array}\right)= \l... ... \left( \begin{array}{cc} s^{-1}&0\\ 0&s \end{array}\right)$$

です．

南海　 そこで，$SL(2)$の部分集合を次のように定める．

$$T=\left\{\left( \begin{array}{cc} \alpha&0\\ 0&\alpha^{-1}... ...eft( \begin{array}{cc} 1&0\\ u&1 \end{array}\right)\right\}$$

これらはいずれも積で閉じている．単位行列，逆行列も同じ形をしている． つまり$SL(2)$の部分群である． そして，$SL(2)$はこれら３つの部分群で生成される． つまり，これらの３つの部分群の要素をさまざまにかけあわせれば， $SL(2)$の要素がすべて得られる．

耕介　 すると，２次方程式の不変式を考える場合， これら３つの型の行列について不変であればいいのですね． この方に対応する３次行列(6) を書いてみます．

$$\begin{array}{ll} \left( \begin{array}{cc} \alpha&0\\ 0&... ... 1&2u&u^2\\ 0&1&u\\ 0&0&1 \end{array} \right) \end{array}$$

これらに対応する変換(6) で不変なものを確定すればよいということになります．