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終結式と判別式

耕介　 質問ですが，$n$次方程式$f(x)=0$が重根をもつということと その判別式$D=0$が同値でした． 一方，$n$次方程式$f(x)=0$が重根をもつということは， $f(x)=0$と$f'(x)=0$の共通根があるということと同値でした． これは$R(f,\ f')=0$を表せます．

この二つの同値性から考えて

$$D=R(f,\ f')$$

ですか．

南海　 これはいいことに気づいた． $D=0$と$R(f,\ f')=0$が同値であることはその通りであるが， それで一致するわけではない．

$f(x)=ax^2+bx+c$のとき，$D=b^2-4ac$だった． $R(f,\ f')$を求めてみてほしい．

耕介　 $f(x)=ax^2+bx+c=0$の根を$\alpha$と$\beta$とします． $f'(x)=2ax+b$ですから，この根は $-\dfrac{b}{2a}$です．

ですから根と係数の関係より

$$\begin{eqnarray*} R(f,\ f')&=&a(2a)^2\left(\alpha+\dfrac{b}{2a}\right) \left(\... ...pha\beta+2ab(\alpha+\beta) +b^2\right\}\\ &=&-a(b^2-4ac)=-aD \end{eqnarray*}$$

です．

耕介　 ３次以上になるとこの方法では大変です． 一般的にはどのようにすればいいのですか．

南海　 根の方から考えればよい． 記号はこれまでと同様とすると， 実は$n=2$の場合と同様に次の定理が成り立つ．

定理 3

$$f(x)=a_0x^n+\cdots+a_n =a_0(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$$

の判別式を$D$とする． また

$$f'(x)=na_0x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}$$

は$f(x)$の微分であるとする．

$$R(f,\ f')=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_0D =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_0^{2n-1}\prod_{1\le i<j \le n} (\alpha_i-\alpha_j)^2$$

が成り立つ．

証明

$$f'(x)=a_0\sum_{i=1}^n\prod_{j\ne i}(x-\alpha_j)$$

であるから

$$f'(\alpha_i)=a_0\prod_{j\ne i}(\alpha_i-\alpha_j)$$

である．したがって

$$\begin{eqnarray*} R(f,\ f')&=& {a_0}^nf'(\alpha_1)f'(\alpha_2)\cdots f'(\alpha... ...-1)}{2}}a_0^{2n-1} \prod_{1\le i<j \le n}(\alpha_i-\alpha_j)^2 \end{eqnarray*}$$

である． □