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根の公式とは

南海　 まず二次方程式の根の公式を思い起こそう． 「根の公式」とは？

耕一　 二次方程式を

$$ax^2+bx+c=0 \quad (a \ne 0)$$

とする．この方程式の根は

$$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

である．これが「解の公式」，いや「根の公式」です．

南海　 この「根の公式」はどのように導くのかな．

耕一　 方程式の左辺を平方完成します．

$$ax^2+bx+c=a \left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=0$$

より

$$x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

となります．これで根の公式がでます．

南海　 根の公式というのは，平方完成して移項し，平方根をとって，さらに移項して 未知数 $x$ を求める方法を，一つの式にまとめたものだ．

耕一　 はい．

南海　 大切なことは，文字係数の四則演算と平方根をとるという操作で， 二次方程式の根が求まる，ということだ． だから，二次方程式の根が，係数の和差積商と根号で表される．これが根の公式だ．

$n$ 次方程式について，文字係数の四則演算とべき根をとるという操作で根が求まる 一般的な方法があれば，「解ける」といい，それをまとめたものが根の公式なのだ．