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三次方程式を解く（その1）

南海　たとえば

$$x^3+3x+1=0$$

を考えよう．もし

$$x^3+3x+1=x^3+y^3+z^3-3xyz$$

となる $y$ と $z$ が求まれば，それで $x$ は

$$x=\,-y-z,\ -\omega y -\omega ^2z,\ -\omega^2 y -\omega z$$

と求まる．

そのためには

$$\left\{ \begin{array}{l} -3yz=3\\ y^3+z^3=1 \end{array}\right.$$

となる $y$ と $z$ が見つかればよい．

耕一　 やってみます. $z=-\dfrac{1}{y}$ なので

$$y^3+ \left(-\dfrac{1}{y} \right)^3=1 \quad \Rightarrow \quad (y^3)^2-y^3-1=0$$

これから

$$y^3=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$

このとき

$$z^3= \left(-\dfrac{1}{y} \right)^3=- \dfrac{2}{1\pm \sqrt{5}}=\dfrac{1\mp \sqrt{5}}{2}$$

南海　 $y$ として $\sqrt[3]{\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}}$ とその $\omega$ 倍， $\omega ^2$ 倍がとれるが， $-y-z$, $-\omega y-\omega ^2 z$, $-\omega ^2y-\omega z$ の三つは同じになる． それで

$$y=\sqrt[3]{\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}} \quad ,\ z=\sqrt[3]{\dfrac{1- \sqrt{5}}{2}}$$

よって，

$$\begin{eqnarray*} x&=&-\sqrt[3]{\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}}-\sqrt[3]{\dfrac{1- \sqr... ...{1+ \sqrt{5}}{2}} -\omega \sqrt[3]{\dfrac{1- \sqrt{5}}{2}}\ ． \end{eqnarray*}$$

耕一　なるほど，できました．解の公式もできそうです． ところで一般の三次方程式は

$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$

です. $a$ は 0 でないので割れるのですが $b$ は消せるのでしょうか．

南海　 $x$のところに $x=t-\dfrac{b}{3a}$を代入すると$t^2$の係数が消えるはずだ．

耕一　（計算をする）

$$\begin{eqnarray*} ax^3+bx^2+cx+d&=&a \left(t- \dfrac{b}{3a} \right)^3 +b\left(... ...(c-\dfrac{b^2}{3a} \right)t+\dfrac{2b^3}{27a^2}-\dfrac{bc}{3a}+d \end{eqnarray*}$$

なりました．

南海　 これは，関数　y=ax^3+bx^2+cx+d　のグラフを，対称の中心である変曲点がy軸上に来るように平行移動したことになる．

耕一　これで一般的な三次方程式の解の公式ができます．

三次方程式

$$x^3+px+q=0$$

の解の公式

$$\left\{ \begin{array}{l} -3yz=p\\ y^3+z^3=q \end{array}\right.$$

を解いて

$$\left\{ \begin{array}{l} y^3=\dfrac{q\pm \sqrt{q^2+\dfrac{4... ...\dfrac{q\mp \sqrt{q^2+\dfrac{4}{27}p^3}}{2} \end{array}\right.$$

よって,

$$x= \left\{ \begin{array}{l} -\sqrt[3]{\dfrac{q+ \sqrt{q^2+\... ...{\dfrac{q- \sqrt{q^2+\dfrac{4}{27}p^3}}{2}} \end{array}\right.$$

となる.

南海　 大切なことは

$$\textbf{どんな三次方程式も，二次方程式を解くことと，3乗根をとることで，解ける．}$$

ということだ．